הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית/בסיסים של גרעין ותמונה"

==מציאת בסיס לגרעין==
הגרעין הוא אוסף הפתרונות למערכת המשוואות ההומוגנית <math>Ax=0</math>:

לפי הגדרת הגרעין, <math>\text{Ker}(T)=\{v\in V|T(v)=0_W\}\subseteq V</math>. 

<math>v</math> הוא ווקטור ולכן ניתן להציגו גם כך <math> \begin{bmatrix}
x_1\\
\vdots \\
x_n  \end{bmatrix}
</math> ההעתקה גם היא ניתנת להצגה באמצעות מטריצה ולכן נקבל לפי הגדרה 
<math>\text{Ker}(T)=\Biggl\{ \begin{bmatrix}
x_1\\
\vdots \\
x_n  \end{bmatrix}|
A*\begin{bmatrix}
x_1\\
\vdots \\
x_n  \end{bmatrix}=0\Biggl\}</math>. 

כלומר הוא אוסף כל הפתרונות שהמשוואה שלהן שווה אפס. לפיכך כאשר נתון לנו מטריצת העתקה <math>T\left [ 
\begin{pmatrix}
x_1 \\
\vdots \\
x_n\\ 
\end{pmatrix}
\right ]
=
\left(\begin{matrix}
a_{11}x_1&a_{12}x_2&\cdots&x_na_{1n}\\
a_{21}x_1&a_{22}x_2&\cdots&a_{2n}x_n\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}x_1+&a_{m2}x_2&\cdots&a_{mn}x_n
\end{matrix}\right)
</math> 

וברצוננו למצוא בסיס לגרעין:
# נדרג את מטריצת העתקה (המקדמים בלבד ללא הנעלמים).
# נמצא את אוסף הפתרונות של המטריצה השווים ל-<math>b=0</math>
* ווקטורי הפתרון הם הבסיס, ובתנאי ששונים מאפס, הפורשים את גרעין T.

==איך מוצאים בסיס לתמונה?==
על פי הגדרה התמונה של <math>T</math> תהיה <math>\mbox{Im}(T)=\{T(v)|v\in V\}</math> כלומר <math>\mbox{Im}(T)=\Biggl\{ \left[ \begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{matrix}\right]\begin{bmatrix}
x_1\\
\vdots \\
x_n  \end{bmatrix}|\begin{bmatrix}
x_1\\
\vdots \\
x_n  \end{bmatrix}\in V \Biggl\}</math>

במילים אחרות התמונה היא אוסף קומבינציות לינאריות של עמודות A שהוא תת מרחב הנפרש על ידי העמודות. 

לפיכך כאשר נרצה למצוא בסיס לתמונה של העתקה <math>T\left [ 
\begin{pmatrix}
x_1 \\
\vdots \\
x_n\\ 
\end{pmatrix}
\right ]
=
\left(\begin{matrix}
a_{11}x_1&a_{12}x_2&\cdots&x_na_{1n}\\
a_{21}x_1&a_{22}x_2&\cdots&a_{2n}x_n\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}x_1+&a_{m2}x_2&\cdots&a_{mn}x_n
\end{matrix}\right)
</math> נבצע את הפעולות הבאות:
# נדרג את המטריצה ה[[אלגברה לינארית/שחלוף מטריצה|משוחלפת]] ל-A (המטריצה של המקדמים בלבד).
# שחלוף הווקטורים המתקבלים לאחר הדרוג הוא בסיס התמונה.

==דוגמא== 
תהי <math> T\left(\left[\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}
x-2y-z\\
-2x+4y+2z
\end{array}\right]\Leftrightarrow A=\begin{bmatrix}1 & -2 & -1\\
-2 & 4 & 2
\end{bmatrix}  </math> נמצא בסיס לגרעין ולתמונה של <math> T_{A}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}</math>

נדרג את <math>A</math> ונקבל<math> \begin{bmatrix}1 & -2 & -1\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}</math> . נמצא את אוסף הפתרונות של המערכת (מפני שהגרעין מקיים <math>ax=0</math>) הוא: <math>\left\{ \begin{bmatrix}2t_{1}+t_{2}\\
t_{1}\\
t_{2}
\end{bmatrix}\right\} =\left\{ t_{1}\begin{bmatrix}2\\
1\\
0
\end{bmatrix}+t_{2}\begin{bmatrix}1\\
0\\
1
\end{bmatrix}\mid t_{1},t_{2}\in\mathbb{R}\right\}  
</math>
ולכן<math> \left\{ \begin{bmatrix}2\\
1\\
0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\
0\\
1
\end{bmatrix}\right\} </math> הוא בסיס לגרעין.

כמו כן, העמודה היחידה עם איבר מוביל היא הראשונה, ולכן <math> \left\{ \begin{bmatrix}1\\
-2
\end{bmatrix}\right\}</math>  הוא בסיס לתמונה.
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]