הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית/הצגת תת מרחב של מרחב הפונקציות בעזרת תנאי"

{{משימה|יהי <math>V=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}</math>. נגדיר תת קבוצה של <math>U</math> של <math>V</math>.

עבור כל <math>U</math> נבדוק האם תת מרחב. אם כן, האם <math>U</math> נוצר סופית? אם כן, מהו <math> \dim U</math>?}}

{{תרגיל
|מספר=1
|שאלה= <math>U=\left\{ \varphi\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\mid\varphi\left(1\right)=0\right\}</math>  אז <math>U</math> ת"מ?
|פתרון=הראינו שמדובר בתת מרחב, נראה שהוא לא נוצר סופית. נתבונן על הקבוצה <math>\left\{ x-1,\left(x-1\right)^{2},...,\left(x-1\right)^{n},...\right\}  </math> אשר מוכלת ב <math>U</math> ובת"ל. לכן <math>U</math> לא נ"ס.
|יישור=ימין}}

{{תרגיל
|מספר=2
|שאלה=<math>U=\left\{ \varphi\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\mid\varphi\left(1\right)=\varphi\left(-1\right)\right\} </math>
|פתרון=נוכיח שמדובר בתת מרחב:

# <math> 0\in U</math> ברור כי עבור <math>f=0</math> התנאי מתקיים <math>\varphi_{0}\left(1\right)=\varphi_{0}\left(-1\right)</math>
# אם <math>f,g\in U</math> אז <math>f\left(1\right)=f\left(-1\right)</math> ו<math> g\left(1\right)=g\left(-1\right)</math> ולכן <math>\left(f+g\right)\left(1\right)=f(1)+g(1)=f(-1)+g(-1)=\left(f+g\right)\left(-1\right)</math>
# סגירות לסקלר 

<math>U</math> לא נוצר סופית.  לדוגמא את <math>\left\{ x^{2},x^{4},...,x^{2n},..\right\}</math>  קבוצה אינסופית ובת"ל (כתת קבוצה של קבוצה בת"ל) מוכלת ב-<math>U</math> ולכן אין לו מימד.
|יישור=ימין}}

{{תרגיל
|מספר=3
|שאלה=<math>U=\left\{ \varphi\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\mid x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\,\,\varphi\left(x_{1}\right)=\varphi\left(x_{2}\right)\right\} </math>
|פתרון=נוכיח כי <math>U</math> תת מרחב: (להשלים)

ניתן לשים לב כי <math>U</math> היא קבוצה של פונקצות קבועות ממעלה אפס כפול סקלר. <math>U</math> נוצר סופית, כי <math>span\left(1\right)=U</math>.כאשר <math>f(x)=1</math> ולכן <math>\dim U=1</math> למעשה הם כל הפולינומים ממעלה אפס <math>U=\mathbb{R}\left[x\right]_{\le0}</math>
|יישור=ימין}}

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]