הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית/מטריצה מייצגת העתקה/מציאת ווקטור בבסיס"

[[File:Transformation matrix.png|מרכז|בשלב זה אנו מכניסים וקטור מבסיס B אך יכולים לבצע רק שלב אחד. מכיוון שני אנחנו מציבים את <math>[t(v)]_c</math> בסיס ומצבים צעד אחד]]

יהיה <math>B,D</math> בסיסים של <math>R</math>, ותהיה העתקה לינארית, <math>T:R^2\to R^2</math> כך ש- <math>[T]^B_D=\begin{bmatrix} 6 & -9\\ -9 & 12 \end{bmatrix}</math>. כמו גם נתון  <math>[T]^B_C=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 3 & -5 \end{bmatrix}</math> כאשר 
<math>C= \begin{bmatrix} 2 \\ 3  \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 5  \end{bmatrix}</math> בסיס של <math>R^2</math>. מצא את <math>D</math>.

'''פתרון:'''
ידוע כי <math>[T(v)]_C=[T]^b_c * {\color{red}[v]_b}</math>

נמצא את ווקטורי <math>[v]_b</math> לפי בסיס 
<math>C= \begin{bmatrix} 2 \\ 3  \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 5  \end{bmatrix}</math>:

נתון כי  <math>[T]^B_C=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 3 & -5 \end{bmatrix}</math> כלומר 

<math>[T(v_1)]^B_C=\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}</math> ו-<math>[T(v_2)]^B_C=\begin{bmatrix} 4 \\ -5 \end{bmatrix}</math>

נמצא את <math>t(v_1)</math>:

<math>T(v_1)=2*\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}+3*\begin{bmatrix} 1 \\ 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3 \\ 15 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 \\ 21 \end{bmatrix}</math> 

<math>T(v_2)=4*\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}-5*\begin{bmatrix} 1 \\ 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8 \\ 12 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -5 \\ -25 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 \\ 13 \end{bmatrix}</math>

נמצא את ווקטורי <math>[v]_b</math> לפי בסיס <math>D</math>:

נתון: 
<math>[T]^B_D=\begin{bmatrix} 6 & -9\\ -9 & 12 \end{bmatrix}</math>

<math>[T(v_1)]=\begin{bmatrix} 6 \\ -9  \end{bmatrix}</math>

<math>[T(v_1)]=\begin{bmatrix} -9 \\ 12  \end{bmatrix}</math>

נבטא את <math>D={w_1,w_2}</math> על כן מתקיים ש-<math>t(v)</math>:

<math>t(v_1)=6w_1-9w_2=\begin{bmatrix} 7 \\ 21 \end{bmatrix}</math>

<math>t(v_2)=9w_1+12w_2=\begin{bmatrix} 3 \\ 13 \end{bmatrix}</math>

נפתור את מערכת המשוואות (ניתן לפרק את <math>w_1=\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}</math>