הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית/מרחב העמודות, השורות והאפס"


בחלק זה נרענן ונחדד מושגים אשר הסברנו אום באופן פשטני בפרק [[אלגברה לינארית/פעולות במרחב R^n#מטריצה במרחב R^n|פעולות במרחב R^n]]

{{הגדרה| 
מספר=1| 
שם=מרחב השורות של המטריצה|
תוכן= תהי המטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>  אז '''<u>מרחב השורות של A</u>''' זהו המרחב הנפרש ע"י שורות המטריצה. 

אם נסמן ב-<math>R</math> את שורות המטריצה, אזי <math>R_1(A),R_2(A),\dots,R_m(A)</math> הן שורות המטריצה <math>A</math> ומרחב השורות הוא <math>R(A)=\mbox{span}\{R_1,R_2,\dots,R_m\}</math>. 

מתוך תכונת כפל מטריצות והעובדה ש- span זה בעצם כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים, אפשר לתאר את המרחב גם בצורה הבאה: <math>\{vA|v\in\mathbb{F}^{1\times m}\}</math> או <math>\{A^tv|v\in \mathbb{F}^m\}</math>

}}

{{הגדרה| 
מספר=2| 
שם=מרחב העמודות של המטריצה|
תוכן=תהי המטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>  אז '''<u>מרחב העמודות של A</u>''' הוא המרחב הנפרש ע"י עמודות המטריצה. 

אם נסמן ב-<math>C</math>  את עמודות המטריצה, אזי <math>C_1(A),C_2(A),\dots,C_n(A)</math> הן עמודות המטריצה A ומרחב העמודות הוא <math>C(A)=\mbox{span}\{C_1,C_2,\dots,C_n\}</math>. 

מתוך תכונת כפל מטריצות והעובדה ש- span זה בעצם כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים, אפשר לתאר את המרחב גם בצורה הבאה: <math>\{Av|v\in\mathbb{F}^n\}</math> . 

נראה כי מימד מרחב העמודות הוא תמיד מספר המשתנים התלויים במערכת <math>Ax=0</math> (ראה מרחב האפס והמשפט אחריו).

{{הגדרה| 
מספר=3| 
שם=מרחב האפס|
תוכן= '''<u>מרחב האפס</u>''' הוא מרחב כל הוקטורים שמאפסים את מטריצה <math>A</math> כלומר, <math>N(A)=\{v\in\mathbb{F}^n|Av=0\}</math> . 
}}{{משפט| 
מספר=1| 
שם=מימד מרחב האפס הוא מרחב העמודות (קבוצת הפתרונות הפורשים מטריצה הם קבוצת העמודות של המטריצה)| 
תוכן=נראה כי מימד מרחב האפס הוא תמיד מספר המשתנים החופשיים במערכת <math>Ax=0</math> .

'''הוכחה:''' כידוע, תמיד מספר המשתנים התלויים + מספר המשתנים החופשיים = מספר העמודות ולכן מתקבל: <math>\dim C(A)+\dim N(A)=n</math>}}

}}

{{תרגיל| 
מספר=1| 
שאלה= תהי המטריצה <math>\begin{bmatrix}1&0&-1\\
-2&1&0\\
3&-2&1\end{bmatrix}</math>
מצאו מטריצה כך ש-<math>span(v_1,v_2,v_3)=\{  x\in\mathbb{R}|A=0 \}</math>
|פתרון=מאחר ש-<math>v_3\in span \{v_1,v_2 \}</math> (בגלל ש-<math>\begin{bmatrix}
1\\
-2\\
3
\end{bmatrix}=
-2
\begin{bmatrix}
0\\
1\\
-2
\end{bmatrix}+(-1)
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}</math> על כן נפתור את מערכת המשוואות <math>Ax=0</math> עבור <math>v_1,v_2</math> גרידא.

לפי [[אלגברה לינארית/כפל מטריצה בווקטור|כפל מטריצה בווקטור]] <math>Av=v_1c_1+\dots + v_nc_n</math>

<math>\begin{bmatrix}
x_1&
x_2&
x_3
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
-1\\
0\\
1
\end{bmatrix}=-x_1+x_3=0</math> על כן אחרי הכפלה נקבל <math>x_1=x_3</math>

עבור <math>v_2</math> נקבל את המערכת <math>\begin{bmatrix}
x_1&
x_2&
x_3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0\\
1\\
-2
\end{bmatrix}=
x_2-2x_3</math> לכן אחרי הכפלה נקבל <math>x_2=2x_3</math>

קבלנו כי המקדמים הינם <math>x_1, \ x_2=2,x_3=x_1=1</math> כלומר <math>v=\begin{bmatrix}
1\\
2\\
1
\end{bmatrix}</math>

|יישור=ימין}}

{{משפט| 
מספר=2| 
שם=<math>\dim C(A)=\dim R(A)</math>| 
תוכן= }}

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]