הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית/משפט הממדים"

===משפט הממדים===
משפט: יהיו <math>U,W</math> תתי מרחב של <math>V</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> . אזי <math>\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=\dim(U+W)</math>

{{מוסתר|הוכחה|1=
<math>\dim U=k</math>, <math>\dim W=l</math> ו <math>\dim U\cap W=m</math>.

יהי <math>\left\{ z_{1},.,z_{m}\right\}</math>  בסיס של <math>U\cap W</math>, לכן היא תת קבוצה בת"ל של <math>U</math>.

לכן קיימים <math>u_{m+1},..,u_{k}\in U</math> כך ש <math>\left\{ z_{1},..,z_{m},u_{m+1},..,u_{k}\right\}</math>  מהווה בסיס של <math>U</math>.

בדומה קיימים <math>w_{m+1},..,w_{l}\in W</math> כך ש <math>\left\{ z_{1},..,z_{m},w_{m+1},..,w_{l}\right\}</math>  מהווה בסיס של <math>W</math>.

נראה ש <math>\left\{ z_{1},..,z_{m},u_{m+1},..,u_{k},w_{m+1},..,w_{l}\right\} </math> מהווה בסיס של <math>U+W</math>.

===קבוצה פורשת===

יהי <math>v\in U+W</math>, אז קיימים <math>w\in W,u\in W</math> כך שלפי סגירות לחיבור <math>v=u+w</math>.

מכאן קיימים <math>c_{1},..,c_{k}\in\mathbb{F}</math> כך ש <math>u=c_{1}z_{1}+..+c_{k}u_{k}</math> בדומה קיימים <math>d_{1},..,d_{l}\in\mathbb{F}</math> כך ש<math> w=d_{1}z_{1}+..+d_{l}w_{l}</math>

מכאן:<math> v=u+w=\left(c_{1}+c_{1}\right)z_{1}+...+\left(c_{m}+d_{m}\right)z_{m}+c_{m+1}u_{m+1}+...c_{k}u_{k}+d_{m+1}w_{m+1}...d_{l}w_{l}</math> ולכן \spn <math>S=U+W
</math>
בת"ל.

יהיו <math>a_{1},..,a_{m},b_{m+1},..,b_{k},c_{m+1},..,c_{l}\in\mathbb{F}</math> כך ש <math>a_{1}z_{1}+...+a_{m}z_{m}+b_{m+1}u_{m+1}+...b_{k}u_{k}+c_{m+1}w_{m+1}...c_{l}w_{l}=0
</math>

אז נעביר אגפים:<math>W\ni\overbrace{c_{m+1}w_{m+1}...c_{l}w_{l}}\overset{*}{=}\overbrace{-\left(a_{1}z_{1}+...+a_{m}z_{m}+b_{m+1}u_{m+1}+...b_{k}u_{k}\right)}\in U
</math>

נשם לב כי הביטוים משני הצדדים שווים ולכן ניתן לבטא אותם זה באמצעות זה.

<math>c_{m+1}w_{m+1}...c_{l}w_{l}\in U\cap W</math>, ולכן קיימים <math>d_{1},..,d_{m}\in\mathbb{F}</math> כך שנוכל באמצעותם ליצג צירוף לינארי עם ווקטורי הבסיס של <math>U\cap W</math>את הביטוי באגף השמאלי: <math>c_{m+1}w_{m+1}+..+c_{l}w_{l}=d_{1}z_{1}+...+d_{m}z_{m}</math>

נציב אותו במקום הביטוי מצד ימין: <math>d_{1}z_{1}+...+d_{m}z_{m}-\left(c_{m+1}w_{m+1}+..+c_{l}w_{l}\right)=0</math>

שזהו בדיוק הבסיס של <math>W</math>. מאחר ש<math> \left\{ z_{1},..,z_{n},w_{m+1},..,w_{l}\right\} </math> בת"ל אנו מסיקים כי<math> d_{1}=..=d_{m}=c_{m+1}=..=c_{l}=0</math>

נציב ב * <math>c_{m+1}=..=c_{l}=0</math> ונקבל: <math>a_{1}z_{1}+...+a_{m}z_{m}+b_{m+1}u_{m+1}+...b_{k}u_{k}=0</math>

מאחר ש-<math> \left\{ z_{1},..,z_{n},u_{m+1},..,u_{k}\right\}</math>  בת"ל אז <math>a_{1}=..=a_{m}=b_{m+1}=..=b_{k}=0</math>

לפיכך הוכחנו כי <math>S </math> הוא בסיס של <math>U+W</math>. 

נוכיח את נכונות משפט המימדים:

מספר האיברים ב S שווה ל <math>\overset{Z}{\overbrace{m}}+\overset{U}{\overbrace{\left(k-m\right)}}+\overset{W}{\overbrace{\left(l-m\right)}}=k+l-m\dim U+\dim W=k+l-m=\dim U\cap W+\dim U+W
</math>}}


{{מוסתר|הוכחה|2=
נסמן: <math>n=\dim(U)\ ,\ m=\dim(W)\ ,\ k=\dim(U\cap W)</math> .

יהי <math>A=\{a_1,\dots,a_k\}</math> בסיס ל- <math>U\cap W</math> . אזי <math>A</math> בת"ל. כיון שכל בת"ל מוכלת בבסיס, קיימות קבוצות <math>B=\{b_{k+1},\dots,b_n\}\ ,\ C=\{c_{k+1},\dots,c_m\}</math> כך ש- <math>A\cup B</math> בסיס ל- <math>U</math> , ו- <math>A\cup C</math> בסיס ל- <math>W</math> .

יהי <math>x\in (U+W)</math> . אזי קיימים <math>u\in U, w\in W</math> כך ש- <math>\ x=u+w</math> . בגלל שבסיס הוא קבוצה פורשת, קיימים סקלרים כך ש-<math>u=\sum_{i=1}^k \alpha_ia_i+\sum_{i=k+1}^n \beta_ib_i, w=\sum_{i=1}^k \gamma_ia_i+\sum_{i=k+1}^m \delta_ic_i</math>

נקבל <math>x=\sum_{i=1}^k (\alpha_i+\gamma_i)a_i+\sum_{i=k+1}^n \beta_ib_i+\sum_{i=k+1}^m \delta_ic_i</math> , כלומר, <math>x</math> הוא צ"ל של <math>A\cup B\cup C</math> . לכן, <math>A\cup B\cup C</math> פורשת את <math>U+W</math> .

נניח בשלילה שיש סקלרים, לא כולם אפס כך ש- <math>\sum_{i=1}^k \alpha_i a_i+\sum_{i=k+1}^n \beta_ib_i+\sum_{i=k+1}^m \gamma_ic_i=\vec 0</math> . נסמן <math>w=-\sum_{i=k+1}^m \gamma_ic_i</math> . אזי <math>w\in W</math> קיימים סקלרים כך ש- <math>w=\sum_{i=1}^k \delta_ia_i+\sum_{i=k+1}^n 0b_i</math>

בגלל יחידות ההצגה לפי בסיס, נקבל <math>\forall i:\beta_i=0</math> . באופן דומה, נקבל <math>\forall i:\gamma_i=0</math>

נקבל: <math>\sum_{i=1}^k \alpha_ia_i=\vec 0</math>, ומכך ש- <math>A</math> בת"ל, נקבל <math>\forall i:\alpha_i=0</math> .

קיבלנו, שכל המקדמים <math>\alpha,\beta,\gamma</math> מתאפסים, ולכן, <math>A\cup B\cup C</math> בת"ל.

לכן, <math>A\cup B\cup C</math> בסיס ל- <math>U+W</math> , וכיון ש- <math>\#(A\cup B\cup C)=n+m-k</math> נקבל <math>\dim(U+W)=n+m-k</math>

לכן, <math>\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=\dim(U+W)</math>
}}
[[קטגוריה:אלגברה לינארית|מרחבים וקטוריים]]