הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית/סיכום משפטים חשובים בדטרמיננטה"

{{משפט| 
מספר=1| 
שם=אם מטריצה <math>A</math> אינה הפיכה אז <math>D(A)=0</math>|
תוכן=הוכחנו בפרק [[אלגברה לינארית/דטרמיננטה|דטרמיננטה]] (טענה 3) נציג שנית. 

מאחר ש-מטריצה A אינה הפיכה, למערכת המשוואות Ax=0 קיים פתרון לא טריוויאלי. 

לכן <math>(v_{1},...,v_{n})</math> ת"ל כלומר קיים <math>1\le j\le n</math> כך ש-<math>v_{j}=c_{1}v_{1}+...+c_{j-1}v_{j-1}+c_{j+1}v_{j+1}+...+c_{n}v_{n}</math>

כאשר <math>c_{1},...,c_{i-1},c_{i+1},...,c_{n}\in\mathbb{F}</math>

נגדיר מטריצות :
<math>A=A_{0}=[v_{1}...v_{j-1}\!v_{j}\ v_{j+1}...v_{n}]
</math>

<math>A_{1}=[v_{1}...v_{j-1} \ v_{1}\ v_{j+1}...v_{n}]</math> אזי <math> D(A_{1})=0</math>

<math>A_{2}=[v_{1}...v_{j-1}\ v_{2}\ v_{j+1}...v_{n}]</math> אזי <math>D(A_{2})=0</math>

<math>\vdots </math>

<math>A_{j-1}=[v_{1}...v_{j-1}\!v_{j-1}\ v_{j+1}...v_{n}]</math> אזי <math>D(A_{\text{j-1}})=0</math>

<math>A_{j+1}=[v_{1}...v_{j-1} \ v_{j+1}\ v_{j+1}...v_{n}]</math> אזי <math>D(A_{j+1})=0</math>

<math>\vdots </math>

<math>A_{n}=[v_{1}...v_{j-1} \ v_{n}\ v_{j+1}...v_{n}]</math> אזי <math>D(A_{n})=0</math>

מאחר שלינארי ובפרט לפי עמודה <math>j</math> נקבל <math>D(A)=D(A_{0})=c_{1}D(A_{1})+...+c_{j-1}D(A_{j-1})+c_{j+1}D(A_{j+1})+...+c_{n}D(A_{n})=0
</math>
}}

{{משפט| 
מספר=2| 
שם=אם <math>A,B\in M_{nxn}(\mathbb{F})</math> אז <math>det(BA)=detB*detA</math>|
תוכן=

*אם <math>A </math> אינה הפיכה אז גם <math>BA</math> אינה הפיכה ולכן: <math>det(BA)=0=det(B)*0=det(B)det(A)</math>

* אם <math>A </math> הפיכה אז קיימות מטריצות לאמנטריות <math>E_{1},...,E_{s}</math> כך ש-<math>A=E_{1}...E_{S}</math>

לכן לפי טענת 6 בפרק [[אלגברה לינארית/דטרמיננטה|דטרמיננטה]], <math>det(BA)=det(BE_{1}...E_{s-1}E_{s})=det(BE_{1},...,E_{s-1})det(E_{s})=...=det(B)det(E_{1})...det(E_{s})</math>

מכיוון ימיני: <math>det(B)det(A)=det(B)det(E_{1}...E_{s-1})det(E_{s})...det(B)det(E_{1})...det(E_{s})
</math>
על כן הביטוים זהים ולכן הטענה נכונה. 
}}

{{טענה| 
מספר=1| 
שם=<math> A,B\in M_{nxn}(\mathbb{F})</math> אז <math>(BA)^{t}=A^{t}B^{t}</math>|
תוכן=}}

{{משפט| 
מספר=3| 
שם=תהי <math>A\in M_{nxn}(\mathbb{F})</math> אז <math>det(A^{t})=det(A)</math>|
תוכן=
'''נוכיח תחילה כי אם  <math>E\in M_{nxn}(\mathbb{F})</math> מטריצה אלמנטרית אז <math>det(E^{t})=det(E)</math>:'''

אם <math>\varepsilon:C_{i}\Leftrightarrow C_{j}</math> או<math> \varepsilon:C_{i}\Leftrightarrow C_{j}</math> אז <math>E^{t}=E</math> כלומר <math>E^{t}</math> היא המטריצה <math>\varepsilon':C_{i}\Leftrightarrow C_{j}+cC_{i} </math> מכאן <math> D(E)=D(I)=D(E^{t})
</math>

'''עתה נוכיח את המשפט הראשי:'''
*אם <math>A</math> אינה הפיכה אז <math>detA=0</math> ולכן נותר רק לנמק מדוע <math>det(A^{t})</math> אינה הפיכה. 

איך נבצע זאת? הדרגה של מטריצה משוחלפת שווה למטריצה המקורית. הדרגה הוא מימד העמודות של המטריצה.

אם המטריצה אינה הפיכה אז הקבוצה הפורשת אינו כל המימד:<math>( span(v_{1},...,v_{n})\ne\mathbb{F}^{n}</math> אזי <math>rkA^{t}=rkA=dimSpan(v_{1},...,v_{n})<n</math>

מכאן נסיק על המטריצה המשוחלפת <math>A^{t}</math>, שהפרוש של העמודות שלה  גם הוא שונה מ-<math>\mathbb{F}^{n}</math> ולפיכך <math>A^{t}</math> אינה הפיכה ולכן <math>det(A)=0=det(A^{t})</math>

* אם <math>A</math> הפיכה אז קיימות מטריצות לאמנטריות <math>E_{1},...,E_{s}</math> כך ש-<math>A=E_{1}...E_{S}</math> אז לפי טענת העזר לעיל <math>A^{t}=E_{s}^{t}...E_{1}^{t}
</math>

על פי כפילויות של דטרמיננטות, לפי הטענה הקודמת, ושוב כפילויות, <math>det(A^{t})=det(E_{s}^{t})...det(E_{s}^{t})=det(E_{s})...det(E_{1})=det(E_{1})...det(E_{s})=det(A)
</math>

}}

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]