הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית/סכום של תתי מרחב"

{{הגדרה|
מספר=2|
שם=סכום של תתי מרחב|
תוכן=
יהי <math>V</math> מרחב ווקטורי ו-<math>S_{1},S_{2}</math> תתי-קבוצות של <math>V</math>. הסכום של <math>S_{1}</math> ו<math>S_{2}</math> מוגדר ע"י <math>S_{1}+S_{2}=\left\{ v_{1}+v_{2}\mid v_{1}\in S_{1},v_{2}\in S_{2}\right\}</math> }}

{{דוגמה| 
מספר=1| 
שם=שימוש בנגזרות להוכחת זהויות|
תוכן=<math> V=\R^{1}=\R</math> ויהי <math>S_{1}=\left\{ 1,2\right\}</math>  ו-<math> S_{2}=\left\{ 2,3\right\}</math>  אז <math>S_{1}+S_{2}=\left\{ 3,4,5\right\}</math> }}

{{הגדרה|
מספר=1|
שם=סכום של תתי מרחב הוא תת מרחב|
תוכן=
יהיו <math>U,W</math> תתי-מרחב של <math>V</math> אזי סכום תתי המרחב <math>U+W=\{u+w|u\in U \wedge  w\in W\}</math> תת-מרחב של <math>V</math> . 

נבדוק ע"פ הקריטריון המקוצר:
* <math>\vec 0\in U,W </math> לכן <math>\vec 0+\vec 0 = \vec 0\in U+W\Rightarrow U+W\ne\empty</math>
* יהי <math>v,w\in\left(U_{1}+U_{2}\right)</math> נראה ש-<math> v+w\in\left(U_{1}+U_{2}\right)</math>:
: אז <math>\forall v_{1}\in U_{1}, v_{2}\in U_{2}</math> מתקיים כך ש <math>v_{1}+v_{2}=v</math>.
: באופן מקביל קיימים <math>\forall w_{1}\in U_{1}, w_{2}\in U_{2}</math> כך ש <math>w_{1}+w_{2}=w</math>. אז <math>v+w=\left(v_{1}+v_{2}\right)+\left(w_{1}+w_{2}\right)=\left(v_{1}+w_{1}\right)+\left(v_{2}+w_{2}\right)</math>
:
מאחרי ש-<math>U_{1}, U_{2}</math> תתי מרחבים, הם סגורים לחיבור לכן <math>\left(v_{1}+w_{1}\right)\in U_{1}</math> וכן <math>\left(v_{2}+w_{2}\right)\in U_{2}</math>. על כן <math>v+w\in U_{1}+U_{2}</math>.
* סגירות לכפל - יהי <math>v\in U_{1}+U_{2}, c\in\mathbb{F} </math> כך שקיימים <math>v_{1}\in U_{1}, v_{2}\in U_{2}</math>כך ש <math>v_{1}+v_{2}=v</math> אז <math>cv=c\left(v_{1}+v_{2}\right)=cv_{1}+cv_{2}\in U_{1}+U_{2}</math> מכיוון שמרחב וקטורי סגור לכפל בסקלר אז <math>cv_{1}\in U_{1}</math> ו<math> cv_{2}\in U_{2}</math>.
}}

{{טענה| 
מספר=1| 
שם=סכום הוא תת מרחב מינימלי של תתי המרחב שלו|
תוכן= 
משפט: <math>U+W</math> הוא תת המרחב המינימלי (מבחינת הכלה) של <math>V</math> המכיל את <math>U</math> ואת <math>W</math> .

הוכחה: יהי <math>A\supseteq U,W</math> תת-מרחב של <math>V</math> , ויהי <math>x\in U+W</math> . אזי קיימים <math>u\in U,w\in W,</math> כך ש-<math>x=u+w</math> . כיון ש- <math>A\supseteq U,W</math> נקבל <math>u,w\in A</math> (ע"פ הגדרת הכלה), ובגלל הסגירות לחיבור, נקבל <math>x=u+w\in A</math> .

לכן, ע"פ הגדרת הכלה, <math>A\supseteq(U+W)</math>
}}

===קבוצה פורשת של סכום===
{{טענה| 
מספר=1| 
שם=
יהי מ"מ <math>Ax=b</math>. 
<math>A\in M_{m\times n}</math>. נניח שיש למערכת לפחות פתרון יחיד אז הצגה פרמטרית של הפתרון שלה הוא <math>
\left\{ v_{0}+t_{1}v_{1}+...+t_{k} | t_{1},...,t_{k}\in\mathbb{F}\right\} =\left\{ v_{0}\right\} +\left\{t_{1}v_{1}+...+t_{k}\mid t_{1},...,t_{k}\in\mathbb{F}\right\} =\left\{ v_{0}\right\} +\text{span}\left(v_{1},..,v_{k}\right)</math>

כלומר קבוצת הפתרונות שקולה ל-<math>v_{0}</math>  והקבוצה הפורשת שלה
|
תוכן= 
}}

{{דוגמה| 
מספר=1| 
שם=קבוצה פורשת של סכום|
תוכן= 
נמצא את תת הקבוצה הפורשת של <math>\mathbb{R}^{4}</math> שקבוצת הפתרונות שלה הינה: <math>\begin{cases}
x_{1}+3x_{3}-3x_{4}=0\\
2x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2x_{4}=0
\end{cases}</math>

נפתור את המערכת: <math>\left[\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 3 & -3 & | & 0\\
2 & -1 & 2 & -2 & | & 0
\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 3 & -3 & | & 0\\
0 & -1 & 4 & -4 & | & 0
\end{array}\right]</math> ולכן אוסף הפתרונות של המערכת <math>\left\{ \left[\begin{array}{c}
-3\\
-4\\
1\\
0
\end{array}\right]t_{1}+\left[\begin{array}{c}
3\\
4\\
0\\
1
\end{array}\right]t_{2}|t_{1},t_{2}\in\mathbb{R}\right\}</math> אז הקבוצה הפורשת את קבוצת הפתרונות היא <math>span\left\{ \left[\begin{array}{c}
-3\\
-4\\
1\\
0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}
3\\
4\\
0\\
1
\end{array}\right]\right\} </math>
}}
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]