הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית/פתרונות של מערכת משוואות הומוגנית"

בחלק זה נרחיב את הדיון על [[אלגברה לינארית/פתרונות של מטריצה מדורגת|פתרונות של מטריצה מדורגת]] רק שנתמקד בחלק זה במטריצות המתקבלות ממערכת משוואות הומוגנית <math>Ax=b </math> כלומר שקבוצת הפתרונות שלה היא <math>b=\begin{bmatrix}0\\
0\\
\vdots\\
0
\end{bmatrix}</math>. 

==לפחות פתרון יחיד==
{{טענה| 
מספר=1| 
שם=לכל מערכת משוואות הומוגנית קיים לפחות פתרון אחד
|תוכן=
}}

===אינסופית===
{{טענה| 
מספר=2| 
שם=אם במערכת משוואות הומוגנית <math>m<n</math> אז קבוצת הפתרונות היא אינסופית|
תוכן= כשמדרגים את המטריצה <math>\begin{bmatrix}A & | & 0\end{bmatrix}</math> נקבל את המטריצה <math>\begin{bmatrix}R & | & 0\end{bmatrix}</math> - כאשר <math>R</math> מדורגת מצומצמת.

נתון כי מספר האיברים המובילים במטריצה <math>R</math> קטן ממספר העמודות <math>(m<n)</math>, 

אז ב-<math>R</math>  יש עמודה בלי איבר מוביל, מכאן בקבוצת הפתרונות של המערכת יהיה לפחות פרמטר אחד <math>(t\in\R)</math>, ולכן קבוצת הפתרון אינסוף פתרונות
}}

===פתרון יחיד===
{{טענה| 
מספר=3| 
שם=תהי מטריצה <math>A \in M_{n\times n}</math> אז למערכת המשוואות ההומוגנית <math>Ax=0</math> יהיה פתרון יחיד אמ"מ <math>A</math> [[אלגברה לינארית/מטריצה הופכית|הפיכה]]
|תוכן=
<u>מכיוון ראשון, אם <math>A</math> הפיכה אז קיים פתרון יחיד:</u>

נתון <math>A</math> הפיכה ולכן קיימת מטריצה <math>B</math> הפוכה ל <math>A</math>. 

אם <math>x\in\R^{n}</math>, ווקטור, הוא פתרון של <math>Ax=0</math>, אז <math>x=I_{n}x=\left(BA\right)x=B\left(Ax\right)=B\cdot0=0 </math>

כלומר <math>x=0</math> ולכן למערכת המשוואות, <math>Ax=0</math> יש פתרון יחיד .

<u>מכיוון שני, אם קיים פתרון יחיד אז הפיכה:</u>

נניח בשלילה ש-<math>A</math> אינה הפיכה, ונגיע לסתירה:

נסמן ב-<math> R</math> מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבלת מ-<math>A</math> ע"י סדרה של פעולות שורה אלמנטריות.

<math>A</math> אינה הפיכה לכן <math>R\ne I_{n}</math> ולכן השורה האחרונה של <math>R</math> היא שורת אפסים.

קבוצות הפתרונות של מערכות המשוואות <math>Ax=0</math> ו-<math> Rx=0</math> זהות.

לכן ל-<math> Rx=0</math> יש פתרון יחיד כפי שהוכחנו לעיל. 

מצד שני, מאחר שבמטריצה <math>R\ne I_{n}</math>, יש ב-<math>R</math> עמודה ללא איבר מוביל,

בהצגה פרמטרית של <math>Rx=0</math> צריך להיות לפחות פרמטר אחד, ולכן יש אינסוף פתרונות. 

זוהי סתירה.
}}