הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית/קימת העתקה הפיכה ממרחב הפונקציה אל המרחב הוקטורי"

{{משפט| 
מספר=1.8.1| 
שם=קימת העתקה הפיכה ממרחב הפונקציות למרחב הוקטורים| 
תוכן= 
[[File:Linear map.png|thumb|שמאל|נוכיח את קיומם של <math>S_b, \ T_b</math>]]

יהי <math> V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> נוצר סופית, <math>\dim V=n</math>(התמונה והטווח שווים). אז קיימת ה"ל ממרחב הפונקציות הפיכה <math>T:\mathbb{F}^{n}\to V</math>

{{הוכחה|ניקח בסיס סדור כלשהו של <math>V</math>. נסמנו <math>B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)</math>.

נגדיר <math>T:\mathbb{F}^{n}\to V </math> ע"י <math>T:\begin{pmatrix}c_{1}\\
\vdots\\
c_{n}
\end{pmatrix}=c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}</math>. T היא ה"ל כי:

* אדטיביות :<math> T\left(\begin{pmatrix}c_{1}\\
\vdots\\
c_{n}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}d_{1}\\
\vdots\\
d_{n}
\end{pmatrix}\right)=T\left(\begin{pmatrix}c_{1}+d_{1}\\
\vdots\\
c_{n}+d_{n}
\end{pmatrix}\right)=\left(c_{1}+d_{1}\right)v_{1}+...+\left(c_{n}+d_{n}\right)v_{n}=c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}+d_{1}v_{1}+...d_{n}v_{n}=T\left(\begin{pmatrix}c_{1}\\
\vdots\\
c_{n}
\end{pmatrix}\right)+T\left(\begin{pmatrix}d_{1}\\
\vdots\\
d_{n}
\end{pmatrix}\right)
</math>
* הומוגניות - בדומה מראים ש <math> T\left(c\cdot\begin{pmatrix}c_{1}\\
\vdots\\
c_{n}
\end{pmatrix}\right)=c\cdot T\left(\begin{pmatrix}c_{1}\\
\vdots\\
c_{n}
\end{pmatrix}\right)</math>.

נראה ש <math>\ker T=\left\{ \begin{pmatrix}0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}\right\} </math> :

אם <math>\begin{pmatrix}c_{1}\\
\vdots\\
c_{n}
\end{pmatrix}\in kerT </math> אז <math>c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}=T\begin{pmatrix}c_{1}\\
\vdots\\
c_{n}
\end{pmatrix}=0 </math>

מאחר ש <math>B=\left(v_{1},..,v_{n}\right)</math> בת"ל מתקיים <math>c_{1}=...=c_{n}</math> כלומר <math>\begin{pmatrix}c_{1}\\
\vdots\\
c_{n}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}</math>  ו <math>\ker T=\left\{ 0\right\} </math> .


אז לפי הטענה הקודמת T הפיכה. }}

'''הערה:''' אם <math>S</math> העתקה ליניארית ההפוכה של
:<math>T\left[\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}
a_{11}x_1&a_{12}x_2&\cdots&x_na_{1n}\\
a_{21}x_1&a_{22}x_2&\cdots&a_{2n}x_n\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}x_1+&a_{m2}x_2&\cdots&a_{mn}x_n
\end{pmatrix}</math> אז  <math>S\left(v\right)=\left[v\right]_{B}</math>
}}

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]