הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית/תכונות כפל מטריצות"

==תכונות כפל מטריצות==
*[[/כפל שלוש מטריצות מקיים כפל אסוציאטיבי/]] - תהינה <math>A,B,C</math> מטריצות אזי <math>(AB)C=A(BC)</math>
{{משפט|מספר=1|שם=אסוציאטיביות כפל מטריצות, אם המכפלה <math>ABC</math> מוגדרת אז מתקיים <math>A(BC)=(AB)C</math>|תוכן=

{{הוכחה|
<big><math>\left[\left(AB\right)C\right]_{ij} = \sum _{k=1}^p\ \left[AB\right]_{ik}c_{kj}=\sum _{k=1}^p\left(\sum _{l=1}^na_{il}b_{lk}\ \right)c_{kj}=\sum _{k=1}^p\left(\sum _{l=1}^na_{il}b_{lk}c_{kj}\ \right)=\sum _{l=1}^na_{il}\left(\sum _{k=1}^pb_{lk}c_{kj}\ \right)=\ \sum _{l=1}^na_{il}\left[BC\right]_{lj}=\left[A\left(BC\right)\right]_{ij}</math></big>}}}}

*הכפל דיסטריבוטיבי (פילוגי) עם פעולת החיבור. כלומר, <math>A(B+C)=AB+AC</math> וגם <math>(A+B)C=AC+BC</math>

{{משפט|מספר=3|שם=פילוגיות כפל מטריצות משמאל מעל חיבור, אם המטריצות <math>AB,AC</math> מוגדרות, אזי מתקיים <math>A(B+C)=AB+AC</math>|תוכן=

{{הוכחה|
<big><math>\left[A\left(B+C\right)\right]_{ij}=\sum _{l=1}^m\ a_{il}\left(b_{lk}+c_{lk}\right)=\sum _{l=1}^m\ \ a_{il}b_{lk}+a_{il}c_{lk}=\sum _{l=1}^m\ \ a_{il}b_{lk}+\sum _{l=1}^m\ \ a_{il}c_{lk}=\left[AB\right]_{ij}+\left[AC\right]_{ij}=\left[AB+AC\right]_{ij}</math></big>}}}}

{{משפט|מספר=4|שם=פילוגיות כפל מטריצות מימין מעל חיבור, אם המטריצות <math>AC,BC</math> מוגדרות, אזי מתקיים <math>(A+B)C=AC+BC</math>|תוכן=

{{הוכחה| <big><math>\left[\left(A+B\right)C\right]_{ij}=\sum _{l=1}^m\left(a_{il+b_{il}}\right)c_{lj}=\sum _{l=1}^m\ a_{il}c_{lj}+b_{il}c_{lk}=\sum _{l=1}^m\ a_{il}c_{lj}+\sum _{l=1}^m\ b_{il}c_{lj}=\left[AC\right]_{ij}+\left[BC\right]_{ij}=\left[AC+BC\right]_{ij}</math></big>}}}}

===מטריצת היחידה===
* אם מטריצה <math>A\in M_{m\times n}</math> כפול מטריצת יחידה <math>I_{m}</math> אז <math> I_{m}*A=A</math>.
* אם מטריצה <math>A\in M_{m\times n}</math> אז <math>A*I_{n}=\begin{bmatrix}Ae_{1},..,Ae_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}C_{1},...,C_{n}\end{bmatrix}=A</math>

===מכפלה במטריצת האפס===
* מטריצת האפס כפול כל מטריצה תיתן את מטריצת האפס (אם פעולת הכפל בין המטריצה למטריצת ה-<math>0</math> מוגדרת)
* אם בשורה ה-<math>i</math> יש שורת אפסים תתקבל מטריצה עם שורה בה יש אפסים רק כאשר נכפול מימן את המטריצה. 
:תהי <math>A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\
0 & 0
\end{bmatrix}</math>, <math>B=\begin{bmatrix}1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}</math> אז <math>\begin{bmatrix}1 & 2 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}3 & 3 \\
0 & 0
\end{bmatrix}</math> (הכפלה עם מטריצה בעלת שורת אפסים מכיוון '''ימין''') לעומת זאת, <math>\begin{bmatrix}1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1 & 2 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}1 & 2 \\
1 & 2
\end{bmatrix}</math> (הכפלה עם מטריצה בעלת שורת אפסים מכיוון '''שמאל''' לא מניבה מטריצה עם שורת אפסים!)  מכאן שאסוציאטיביות אינה תכונה קיימת בכפל של שתי מטריצות.

* אם בעמודה ה-<math>j</math> יש טור אפסים לא בהכרח נקבל מטריצה עם אפס. 


[[קטגוריה: אלגברה לינארית]]