הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית/תכונות כפל מטריצות/כפל שלוש מטריצות מקיים כפל אסוציאטיבי"

{{משפט| 
מספר=1| 
שם=אסוציאטיביות כפל מטריצות| 
תוכן= 
נתונות מטריצות: 

<math>A</math> בגודל <math>m\times n </math>

<math>B</math> בגודל <math>l\times m</math>

<math>C</math> בגודל <math>k\times l</math> אז <math>\underbrace{(CB)}_{kxm}\underbrace{A}_{mxn}=\underbrace{C}_{kxl}\underbrace{(BA)}_{lxn}</math>.}}

נסמן: <math>A=\begin{bmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n}\\
\vdots &  & \vdots\\
a_{m1} & \dots & a_{mn}
\end{bmatrix}</math>, <math>B=\begin{bmatrix}b_{11} & \dots & b_{1m}\\
\vdots &  & \vdots\\
b_{l1} & \dots & b_{lm}
\end{bmatrix}</math> ו- <math> C=\begin{bmatrix}c_{11} &  & c_{1l}\\
\\
c_{k1} &  & c_{kl}
\end{bmatrix}</math>

נכפל את המטריצות ונסמן, <math>\underbrace{BA}_{lxn}=G=\begin{bmatrix}g_{11}\\
\\
 &  & g_{ln}
\end{bmatrix}</math>

וגם <math>\underbrace{CB}_{kxm}=H=\begin{bmatrix}h_{11}\\
\\
 &  & h_{km}
\end{bmatrix}</math>

נכפיל את המטריצות שהתקבלו במטריצה שלישית ונוכיח כי שתי ההכפלות זהות:
* נתבונן על מכפלה <math>CG</math>: המקדם בשורה ה -<math>i</math> והעמודה ה-<math> j</math> של <math>CG</math> הינו <math>\sum_{r=1}^l 
c_{ir}g_{rj}=\sum_{r=1}^l
c_{ir}\cdot\left(\sum_{s=1}^m
b_{rs}\cdot a_{sj}\right)=\sum_{r=1}^l
\sum_{s=1}^m
c_{ir}\cdot b_{rs}\cdot a_{sj}</math>
* נתבונן על מכפלה <math>HA</math>: המקדם בשורה ה -<math>i</math> והעמודה ה-<math> j</math> של <math>HA</math> הינו <math> \sum_{s=1}^m
h_{is}\cdot a_{sj}=\sum_{s=1}^m\left(\sum_{r=1}^l
c_{ir}\cdot b_{rs}\right)\cdot a_{sj}=\sum_{s=1}^m
\sum_{r=1}^lc_{ir}\cdot b_{rs}\cdot a_{sj}</math>

שני הביטויים זהה ולכן מכפלת שלוש המטריצות שווה. 
[[קטגוריה: אלגברה לינארית]]