הצגת המקור של הדף "הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/שיטות אינטגרציה/המשפט היסודי של החדו"א"

;משפט
תהי <math>f(x)</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> ותהי <math>F(x)</math> מוגדרת <math>F(x)=\int\limits_a^xf(u)du</math> .

אזי <math>F(x)</math> גזירה בקטע <math>(a,b)</math> ומתקיים <math>F'(x)=f(x)</math> לכל <math>x\in(a,b)</math> .

;הוכחה
נבחר נקודה כללית <math>x_0\in[a,b]</math> . נתון כי <math>F(x_0)=\int\limits_a^{x_0}f(u)du</math> וכמו כן,
<math display=block>\begin{align}F(x_0+h)&=\int\limits_a^{x_0+h}f(u)du=\int\limits_a^{x_0}f(u)du+\int\limits_{x_0}^{x_0+h}f(u)du\\
F(x_0+h)-F(x_0)&=\left(\int\limits_a^{x_0}f(u)du+\int\limits_{x_0}^{x_0+h}f(u)du\right)-\int\limits_a^{x_0}f(u)du=\int\limits_{x_0}^{x_0+h}f(u)du\\
&\lim_{h\to0}\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=\lim_{h\to0}\dfrac1h\cdot\int\limits_{x_0}^{x_0+h}f(u)du\end{align}</math>

לפי משפט ערך הביניים האינטגרלי, לפונקציה <math>f(x)</math> קיימת נקודה <math>x_h\in(x_0,x_0+h)</math> המקיימת <math>\int\limits_{x_0}^{x_0+h}f(u)du=f(x_h)\cdot h</math> .

לכן
:<math display=block>\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\cdot\int\limits_{x_0}^{x_0+h}f(u)du=\lim_{h\to0}\frac{f(x_h)\cdot h}{h}=\lim_{h\to0}f(x_h)</math>
כיון ש־<math>x_h\in(x_0,x_0+h)</math> אז מתקיים לפי כלל הסנדוויץ' <math>\lim_{h\to0}x_h=x_0</math> , וכיון ש־<math>f(x)</math> רציפה מתקבל: <math>\lim_{h\to0}f(x_h)=\lim_{x_h\to x_0}f(x_h)=f(x_0)</math> .

לכן <math>F'(x_0)=f(x_0)</math> . כיון ש־<math>x_0\in[a,b]</math> היא נקודה כללית בקטע אז הטענה נכונה לכל <math>x\in(a,b)</math> .

<math>\blacksquare</math>

[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]