הצגת המקור של הדף "הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/אריתמטיקה של גבולות סופיים"

==גבול של סכום סדרות==
;משפט
תהיינה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty,\{b_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרות המקיימות <math>\lim_{n\to\infty}a_n=A,\lim_{n\to\infty}b_n=B</math> כשהגבולות סופיים.

אזי <math>\lim_{n\to\infty}\Big[a_n\pm b_n\Big]=\lim_{n\to\infty}a_n\pm\lim_{n\to\infty}b_n=A\pm B</math> .

;הוכחה
עלינו להוכיח כי לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>k\in\N</math> כך שלכל <math>n>k</math> מתקיים <math>\Big|(a_n\pm b_n)-(A\pm B)\Big|<\varepsilon</math> .

קיים <math>k_1\in\N</math> כך שלכל <math>n>k_1</math> מתקיים <math>|a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}</math> .

קיים <math>k_2\in\N</math> כך שלכל <math>n>k_2</math> מתקיים <math>|b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}</math> .

נסמן <math>k=\max\{k_1,k_2\}</math> . כעת לכל <math>n>k</math> מתקיים לפי אי־שוויון המשולש:
:<math display=block>\Big|(a_n\pm b_n)-(A\pm B)\Big|=\Big|a_n-A\pm b_n\mp B\Big|\ {\color{red}\le}\ |a_n-A|+|b_n-B|\ {\color{red}<}\ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon</math>
<math>\blacksquare</math>

הערות להוכחה:
*בהוכחה זו, הכל היה נתון לנו בצורה מתמטית. פעמים רבות ניתקל בהוכחות המנוסחות בצורה מילולית, ויהא עלינו לכתוב אותן בצורה מתמטית.
*הערה נוספת בהקשר זה: כשכל הנתונים מוצגים בצורה מתמטית, עלינו לוודא שאנו מבינים היטב את משמעותם. למשל, במקרה זה כתוב בעצם
:"נתונות הסדרות <math>\{a_n\}_{n=1}^{\infty},\{b_n\}_{n=1}^{\infty}</math> המתכנסות לגבולות <math>A,B</math> בהתאמה". חשוב להבין את הנתון גם מבחינה רעיונית.

==גבול של מכפלת סדרות==
;משפט
תהיינה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty,\{b_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרות המקיימות <math>\lim_{n\to\infty}a_n=A,\lim_{n\to\infty}b_n=B</math> כשהגבולות סופיים.

אזי <math>\lim_{n\to\infty}\Big[a_n\cdot b_n\Big]=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot\lim_{n\to\infty}b_n=A\cdot B</math>

;הוכחה:
יהי <math>\varepsilon>0</math> . עלינו להוכיח כי לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>k\in\N</math> כך שלכל <math>n>k</math> מתקיים <math>\Big|a_n\!\cdot\!b_n-A\!\cdot\!B\Big|<\varepsilon</math> .
:<math display=block>\begin{matrix}\bigl|a_n\!\cdot\!b_n-A\!\cdot\!B\bigr|=\Big|a_n\!\cdot\!b_n-A\!\cdot\!b_n+A\!\cdot\!b_n-A\!\cdot\!B\Big|=\Big|b_n(a_n-A)+A(b_n-B)\Big|\\{\color{red}\le}\ \bigl|b_n(a_n-A)\bigr|+\bigl|A(b_n-B)\bigr|=|b_n|\!\cdot\!|a_n-A|+|A|\!\cdot\!|b_n-B|\end{matrix}</math>
<math>\{b_n\}</math> מתכנסת ולכן חסומה, לכן קיים <math>M>0</math> כלשהו כך שלכל <math>n</math> מתקיימים בו זמנית המקרים <math>|b_n|<M</math> וגם <math>|A|<M</math> .

קיים <math>k_1\in\N</math> כך שלכל <math>n>k_1</math> שמתקיים <math>|a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2M}</math> .

קיים <math>k_2\in\N</math> כך שלכל <math>n>k_2</math> שמתקיים <math>|b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2M}</math> .

נסמן <math>k=\max\{k_1,k_2\}</math> . לפיכך,
:<math display=block>\Big|a_n\!\cdot\!b_n-A\!\cdot\!B\Big|\ {\color{red}\le}\ |b_n|\!\cdot\!|a_n-A|+|A|\!\cdot\!|b_n-B|\ {\color{red}<}\ M|a_n-A|+M|b_n-B|\ {\color{red}<}\ M\cdot\frac{\varepsilon}{2M}+M\cdot\frac{\varepsilon}{2M}=\varepsilon</math>
<math>\blacksquare</math>

[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]