הצגת המקור של הדף "הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/שקילות הגדרות הגבול"

;משפט
הטענות הבאות שקולות:
#<math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math> .
#לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>\bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon</math> .
#לכל סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> המקיימת <math>\lim_{n\to\infty}x_n=a</math> ו־<math>x_n\ne a</math> לכל <math>n</math> , מתקיים <math>\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L</math> .

;הוכחה
<math>2\iff1</math> מכיון שטענה 2 היא פשוט הגדרת הגבול (לפי קושי). לכן, עלינו להוכיח את השקילות בין הגדרות הגבול של קושי ושל היינה, כלומר <math>3\iff2</math> .


נוכיח <math>3\Larr2</math> .

תהי <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרה המקיימת <math>\lim_{n\to\infty}x_n=a</math> ו־<math>x_n\ne a</math> לכל <math>n</math> .

יהי <math>\varepsilon>0</math> . קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>\bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon</math> . מהגדרת הגבול קיים <math>k\in\N</math> כך שלכל <math>n>k</math> מתקיים <math>|x_n-a|<\delta</math> .

מאחר ו־<math>x_n\ne a</math> לכל <math>n</math> מתקיים <math>0<|x_n-a|<\delta</math> . אזי עבור <math>k</math> זה ועבור <math>x=x_n</math> נקבל כי <math>\bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon</math> , כלומר <math>\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L</math> .

<math>\blacksquare</math>


נוכיח <math>1\Larr3</math> .

נניח כי לכל סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> המקיימת <math>\lim_{n\to\infty}x_n=a</math> ו־<math>x_n\ne a</math> לכל <math>n</math> , מתקיים <math>\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L</math> ונוכיח כי <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math> .

נניח בשלילה כי <math>\lim_{x\to a}f(x)\ne L</math> . לכן לפי טענה 2 (היא שקולה לטענה 1), קיים <math>\varepsilon>0</math> כך שלכל <math>\delta>0</math> קיים <math>x</math> המקיים <math>0<|x-a|<\delta</math> עבורו <math>\bigl|f(x)-L\bigr|\ge\varepsilon</math> .

בפרט, לכל <math>n</math> קיים <math>x_n</math> המקיים <math>|x_n-a|<\frac1n</math> עבורו <math>\bigl|f(x_n)-L\bigr|\ge\varepsilon</math> . אזי <math>\lim_{n\to\infty}f(x_n)\ne L</math> וזוהי סתירה להנחה שלנו. לכן <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math> .

<math>\blacksquare</math>

אזי <math>1\Larr3\Larr2\Larr1</math> , והטענות הן שקולות.

[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]