הצגת המקור של הדף "הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/האלכסון של קנטור ועוצמת הממשיים"

<math>\aleph_0=|\mathbb{N}|<|(0,1)|=|\mathbb{R}|=\aleph=\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}</math>

== הוכחה ==
ראשית, ניווכח כי אכן <math>|(0,1)|=|\mathbb{R}|</math>:
<br />
נגדיר <math>f \colon (0,1) \to \mathbb{R}</math> כ-<math>f(x)=x</math>, מובן כי היא חח"ע.
<br />
נגדיר <math>g \colon \mathbb{R} \to (0,1)</math> כ-<math>g(x)=\arctan(x)/\pi+1/2</math>, אשר גם היא חח"ע.
<br />
לפי [[הוכחות_מתמטיות/תורת הקבוצות/משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין|משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין]] נקבל <math>|(0,1)|=|\mathbb{R}|</math>.

שנית, מאחר ו-<math>\mathbb{N} \subset \mathbb{R}</math> נקבל אוטומטית <math>|\mathbb{N}|\le|\mathbb{R}|</math>

נראה כי יש התאמה בין <math>(0,1)</math> לבין <math>2^\mathbb{N}=\{0,1\}^\mathbb{N}</math>.
<br />
נסתכל על המספרים בין 0 ל-1 בבסיס בבינארי. לכל מספר כזה קיים ייצוג (או שניים) המהווה סדרה של 0 ו-1.
<br />
המקרה היחיד שיש שני ייצוגים לאותו המספר, הוא מספר המסתיים ברצף אינסופי של 1. במקרה שכזה נבחר באופן שרירותי את הייצוג השני.
<br />
כעת יש לנו התאמה בין שתי הקבוצות הנ"ל.

נניח בשלילה כי יש פונקציית שקילות <math>\varphi</math> בין <math>\mathbb{N}</math> לבין <math>(0,1)</math>.
<br />
נגדיר סדרות כך ש-<math>r^i_j</math> זו הספרה ה-<math>j</math> אחרי הנקודה בייצוג בבסיס בינארי של <math>\varphi(i)</math>.
<br />
נבנה מספר חדש על ידי הסדרה שמייצגת אותו, <math>r_j=1-r^j_j</math> היא הספרה ה-<math>j</math> אחרי הנקודה בייצוג בבסיס בינארי של המספר.
<br />
לא ייתכן כי המספר החדש נמצא במנייה כי הוא שונה מכל מספר לפחות בספרה אחת לפחות.
<br />
מכאן <math>|\mathbb{N}| \neq (0,1)</math>.

אם נשלב את כל שקיבלנו, נמצא כי <math>\aleph_0=|\mathbb{N}|<|(0,1)|=|\mathbb{R}|=\aleph=\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}</math>.


[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]