הצגת המקור של הדף "הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/למת נקודת השבת"

אם <math>X \neq \phi</math> והפונקצייה <math>\varphi \colon P(X) \to P(X)</math> הינה שומרת הכלה (מונוטונית עולה), כלומר <math>\forall A,B \in P(X) \colon A \subseteq B \Rightarrow \varphi(A) \subseteq \varphi(B)</math>,
<br />
אזי <math>\exists Y \in P(X) \colon Y=\varphi(Y)</math>.

כלומר, לכל פונקצייה שומרת הכלה יש נקודת שבת.

== הוכחה ==
נגדיר קבוצה <math>\mathbf{M}=\{A \in P(X) | A \subseteq \varphi(A)\}</math>.
מתקיים <math>\phi \in \mathbf{M}</math> ומכאן <math>\mathbf{M} \neq \phi</math>.
<br />
נסמן <math>Y=\bigcup \mathbf{M}=\bigcup_{A\in\mathbf{M}} A</math>.
מובן כי <math>Y \in P(X)</math> לפי ההגדרה.

מהגדרת <math>Y</math>, לכל <math>A \in \mathbf{M}</math> מתקיים <math>A \subseteq Y</math> ומכך ש-<math>\varphi</math> שומרת הכלה נקבל <math>\varphi(A) \subseteq \varphi(Y)</math>. ומכאן גם מתקבל <math>\bigcup_{A\in\mathbf{M}} \varphi(A) \subseteq \varphi(Y)</math>.
<br />
מהגדרת <math>\mathbf{M}</math>, לכל <math>A \in \mathbf{M}</math> מתקיים <math>A \subseteq \varphi(A)</math>, ולכן גם <math>Y=\bigcup_{A\in\mathbf{M}} A \subseteq \bigcup_{A\in\mathbf{M}} \varphi(A)</math>.
<br />
משילוב שתי התוצאות הללו נקבל <math>Y \subseteq \varphi(Y)</math>.

שוב, <math>\varphi</math> שומרת הכלה ולכן <math>\varphi(Y) \subseteq \varphi(\varphi(Y))</math>, ולכן לפי הגדרת <math>\mathbf{M}</math> נקבל כי <math>\varphi(Y) \in \mathbf{M}</math>.
<br />
מכאן נסיק כי <math>\varphi(Y) \subseteq \bigcup \mathbf{M}=Y</math>.

הראנו הכלה בשני הכיוונים, כלומר <math>Y=\varphi(Y)</math>, כנדרש.
[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]