הצגת המקור של הדף "הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים רציפים/התפלגות נורמלית"

{{הסתברות}}

{{הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים רציפים}}

{{משתנה מקרי|
נורמלי: <math>\ X\sim N(\mu,\sigma^2)</math>|
תמונת התפלגות=[[Image:Normal_Distribution_CDF.svg|300px]]|
תמונת צפיפות=[[Image:Normal_Distribution_PDF.svg|300px]]|
פרמטרים=<math>\ \mu; \sigma^2 > 0</math>|
תומך=<math>\ x \in (-\infty,+\infty)</math>|
התפלגות=<math>\ \int\limits_{-\infty}^x {1\over\sqrt{2\pi}} e^{-{x^2\over 2}}</math>|
צפיפות=<math>\ \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right)</math>|
תוחלת=<math>\ \mu</math>|
חציון=<math>\ \mu</math>|
שונות=<math>\ \sigma^2</math>|
מומנטים=<math>\ \exp\left(\mu\,s+\frac{\sigma^2 s^2}{2}\right)</math>|
אופיינית=<math>\ \exp\left(\mu\,i\,s-\frac{\sigma^2 s^2}{2}\right)</math>}}

[[תמונה:Normal distribution and scales.gif|שמאל|thumb|380px|פעמון גאוס תקני]]

אינטואיטיבית, התפלגות נורמלית (התפלגות גאוסית) היא ההתפלגות של ממוצע של מ"מ אחרים תחת הנחות קלות למדי. היא אחת ההתפלגויות החשובות ביותר, ומופיעה רבות בטבע.

{{הגדרה|שם = התפלגות נורמלית (התפלגות גאוסית)
|תוכן=
נאמר כי 
מ"מ <math>X</math> הוא בעל '''התפלגות נורמלית''' אם
<center><math>
f_X(x) = 
\frac 1 {\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} = 
\frac 1 {\sigma\sqrt{2\pi}} \exp \left( {\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right)
,
</math></center>
כאשר <math>\mu</math> ו-<math>\sigma</math> הם התוחלת וסטיית התקן (מושגים שנראה בהמשך) של <math>X</math>. 



נכתוב
<math>X \sim N(\mu, \sigma^2)</math>.

אם <math>\ X\sim N(0,1)</math> אז <math>X</math> בעל התפלגות '''נורמלית תקנית''' (או '''גאוסית תקנית'''). 
}}

מתרשים הצפיפות בצד שמאל אפשר לראות שלצפיפות יש צורת פעמון. בהמשך הספר נראה כי הפרמטר <math>\mu</math> הוא הערך שעבורו מקבל הפעמון את המקסימום, והפרמטר <math>\sigma^2</math> קובע את רוחב הפעמון.

{{תרגיל
|שאלה=
נניח כי 
<math>X \sim N(0, \sigma^2)</math>.
נגדיר מ"מ חדש <math>\ Z=\frac{X-\mu}{\sigma}</math>. בהמשך הקורס, וודא כי הנך מבין מדוע
<math>\ Z\sim N(0,1)</math>. 
|פתרון=

|יישור=ימין}}

==פונקציית ההתפלגות המצטברת==

פונקציית ההתפלגות המצטברת מוגדרת, כבשאר המ"מ הרציפים, לפי
<center><math>F_X(x) = \int_{-\infty}^xf_X(y)dy,</math></center>
ובמקרה זה,
<center><math>F_X(x) = \int_{-\infty}^x\frac 1 {\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{\frac{-(y-\mu)^2}{2\sigma^2}}dy.</math></center>
למרבה הצער, אין לאינטגרל זה פתרון סגור. מה עושים, אם כן?

ראשית, נגדיר 
<center><math>\ \Phi(x) = \int_{-\infty}^x\frac 1 {\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-(y)^2}{2}}dy</math></center>
כהתפלגות המצטברת של מ"מ נורמלי תקני
<math>X \sim N(0, 1)</math>.
נראה כי בעזרת ערכי
<math>\phi(x)</math>
אפשר לחשב את ההתפלגות המצטברת של כל מ"מ גאוסי אחר.

{{משפט|תוכן=
נניח מ"מ
<math>X \sim N(\mu, \sigma^2)</math>.

אז
<center><math>
F_X(x) = \phi\left( {x - \mu \over \sigma} \right)
.
</math></center>
}}

{{הוכחה|1=

לפי הגדרה,
<math>F_X(x) = \mathbb{P}(X \leq x)</math>.
נגדיר מ"מ
חדש <math>\ Z=\frac{X-\mu}{\sigma}</math>. נשים לב כי המ"מ מתפלג
<math>\ Z\sim N(0,1)</math>. 
נשים לב גם כי
<center><math>\ \mathbb{P}(X\le x)=
\mathbb{P}\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right)
=
\mathbb{P}\left(Z\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right)
</math></center>
הביטוי האחרון הנו בדיוק
<center><math>\ \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)</math></center>
}}

מהמשפט הקודם נובע כי מספיק לדעת את ערכי <math>\Phi</math> עבור ערכי <math>x</math> שונים. מסיבה זו אפשר למצוא טבלאות של ערכי פונקציה זו. למעשה, הטבלאות מכילות לרוב רק את ערכי <math>\Phi</math> עבור ערכי <math>x</math> לא שליליים, וזאת משום שהפונקציה <math>\Phi</math> הנה סימטרית.


{{תרגיל
|שאלה=
הראה כי <math>\ \Phi(-x)=1-\Phi(x)</math>.
|פתרון=
|יישור=ימין}}


==ראו גם==

{{מיזמים|ויקיפדיה=התפלגות נורמלית}}
{{הסתברות|מוגבל}}
[[קטגוריה:הסתברות (לאוניברסיטה)]]