הצגת המקור של הדף "חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/גבול חלקי"

{{חשבון אינפיניטסימלי|פרק=גבולות}}

{{משפט|שם=הלמה של קנטור|תוכן=אם <math>\{a_n\}^\infty_1,\{b_n\}^\infty_1</math> הן שתי סדרות המקיימות <math>a_n\le a_{n+1}<b_{n+1}\le b_n</math> לכל n, והמרחק ביניהן שואף לאפס, אז הן מתכנסות לגבול משותף.
{{הוכחה|
על פי הנתון מתקיים <math>\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0</math>, כלומר <math>\lim_{n\to\infty}b_n-\lim_{n\to\infty}a_n=0</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n</math>.
}}}}

{{משפט|שם=משפט בולצאנו ויירשטראס (‫‪Bolzano-Weierstrass‬‬)|תוכן=

{{הוכחה|

}}}}

{{משפט|תוכן=
לכל סדרה יש תת סדרה המתכנסת במובן הרחב

{{הוכחה|

}}}}

{{משפט|תוכן=
לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית

{{הוכחה|
על פי [[w:משפט ארדש סקרש|משפט ארדש סקרש]], לכל סדרה באורך <math>ab+1</math> יש תת סדרה מונוטונית עולה באורך <math>a+1</math> או תת סדרה מונוטונית יורדת באורך <math>b+1</math>. כל אורך של סדרה נוכל לכתוב כמספר מהצורה <math>ab+1+c</math> כאשר c הוא קבוע כלשהו. לפי זה נקבל סדרה מונוטונית באורך של לפחות <math>a+1</math> (אם עולה) או <math>b+1</math> (אם יורדת)
}}}}


{{חשבון אינפיניטסימלי/גבולות|מוגבל}}
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]