הצגת המקור של הדף "חשבון אינפיניטסימלי/חסימות ואיבר מינימלי"

==מינמום==
{{הגדרה|
מספר=1|
שם=מינמום של קבוצה|
תוכן=יהי <math>\mathbb{F}(+,*,<)</math> שדה סדור ותהי תת קבוצה <math>\empty\ne A\subseteq \mathbb{F}</math>. 

נאמר ש-<math>m</math> הוא מינמום של הקבוצה אם:
# <math>m\in A</math> 
# <math>\exists m\in A \ \ \forall a\in A \ \ \ m\le a</math>}}

{{טענה|
מספר=1|
שם=מינמום הוא יחיד|
תוכן=נניח בשלילה כי קיימים שני חסמים תחתונים מינמלים: <math>m_1,m_2</math> מתקים:

עבור <math>m_1</math>:  <math>\exists m_1\in A \ \ \forall a\in A \ \ \ m_1\le a</math> על כן <math>m_2\ge m_1</math>

עבור <math>m_2</math>:  <math>\exists m_2\in A \ \ \forall a\in A \ \ \ m_2\le a</math> על כן <math>m_1\ge m_2</math>

מכאן ש-<math>m_1=m_2</math>

}}

==מקסימום==

{{הגדרה|
מספר=2|
שם=מקסימום של קבוצה|
תוכן=יהי <math>\mathbb{F}(+,*,<)</math> שדה סדור ותהי תת קבוצה <math>\empty\ne A\subseteq \mathbb{F}</math>. 

נאמר ש-<math>m</math> הוא מינמום של הקבוצה אם:
# <math>m\in A</math> 
# <math>\exists m\in A \ \ \forall a\in A \ \ \ m\ge a</math>}}

{{טענה|
מספר=2|
שם=מקסימום הוא יחיד|
תוכן=
}}

==חסימות בטבעים==
{{משפט|
מספר=1|
שם=עקרון הסדר הטוב: תהי <math>\empty \ne A\subseteq \mathbb{N}</math> תת קבוצה של הטבעיים לא ריקה אזי יש לקבוצה <math>A</math> איבר מינימלי|
תוכן=
תהי <math>\empty \ne A\subseteq \mathbb{N}</math>. נניח בשלילה כי אין לקבוצה <math>A</math> איבר מינימלי.

אם <math>1\in A</math> אזי <math>minA=1</math> על פי הטענה <math>\forall n\in\mathbb{N} \ \ 1\le n</math>

לכן <math>1\notin A</math> ומתקיים <math>\forall x\in A \ \ \ x>1</math>

נגדיר: <math>I=\{n\in \mathbb{N}|\forall x\in A \ \ n<A\}</math>, קבוצת כל האיברים המינמלים - נוכיח זאת:

על פי ההגדרה <math>A \subseteq I</math>

אם נוכיח כי הקבוצה היא אינדוקטיבית קיבלנו סתירה מפני שלכאורה <math>A\cap I = \empty</math>. הרי על פי הגדרה <math>I</math> מכילה את כל האיברים <math>n<A</math>. אם <math>I=\mathbb{N}</math> ו-<math>A\in \mathbb{N}</math> אז <math>I=A</math>)

נוכיח כי הקבוצה <math>I</math> היא אינדוקטיבית:
* <math>1\in I</math> מפני שקבוצת הטבעים היא קבוצה אינדוקטיבית. 
* יהי <math>n\in I</math>. מאחר שהנחנו בשלילה ש-<math>I</math> לא אינדקוטיבית מתקיים <math>n+1\notin I</math> 
* אם <math>n+1\notin I</math> אז הוא לא מקיים את הגדרת הקבוצה <math>n<A</math> כלומר קיים <math>a_1\in A</math> כך ש-<math>a_1\le n+1</math>
* נתון כי <math>A</math> אינה חסומה ולכן קיים <math>a_0\in \mathbb{N}</math> המקיים <math>n<a_0\le a_1\le n+1</math> 
על כן מתקיים <math>n<a_0< n+1</math> בסתירה למשפט ש-<math>\forall n\in \mathbb{N} \not \exists m\in\mathbb{N} n<m<n+1</math>.

לכן <math>n+1\in I</math>. מכאן <math>I</math> אינדקוטיבית ומתקיים <math>I=\mathbb{N}</math>

בסתירה לכך ש-<math>A=\empty</math>
}}

==חסימות בשדה==
{{הגדרה|
מספר=2|
שם=קבוצה חסומה מלמעלה/מלעיל בשדה|
תוכן=<math>\exists S\in \mathbb{F} \ \ \forall a\in A \ a\le S</math>
}}

{{הגדרה|
מספר=3|
שם=קבוצה חסומה מלמעלה בטבעים|
תוכן=<math>\exists S\in \mathbb{N}  \ \ \forall a\in A \ a\le S </math>
}}


{{הגדרה|
מספר=4|
שם=קבוצה חסומה מלמטה/מלרע בשדה|
תוכן=<math>\exists I\in \mathbb{F} \ \ \forall a\in A \ a\ge I</math>
}}

{{הגדרה|
מספר=5|
שם=קבוצה חסומה |
תוכן=<math>\exists S\in \mathbb{F} \ \ \forall a\in A \ |a|\le S</math>
}}

==חסם עליון ותחתון==
{{הגדרה|
מספר=6|
שם=חסם עליון (lub\supermum)|
תוכן=

תהי <math>\empty \ne A\subseteq \mathbb{A}</math>. נאמר ש-<math>s\in\mathbb{R}</math> הוא חסם עליון של הקבוצה אם:
# <math>\forall a\in A a\le s</math>
#<math>\forall \epsilon>0 \ \exists a\in A \ s-\epsilon<a\le s </math> כלומר לא קיים חסם קטן יותר ממנו. 
[[File:Supremum.png|thumb|מרכז|החסם העליון גדול מכל איברי הקבוצה <math>a</math>. אם הסופרמום הוא מקסימום של הקבוצה הוא יכול להיות גם שווה לאחד מאיברי הקבוצה. אם נצעד אפסילון (מעט מאוד) צעדים נגיע אל איברי הקבוצה]]
}}

{{טענה|
מספר=2|
שם=קיים סופרמום יחיד לקבוצה|
תוכן= נניח בשלילה כי קיימים שני סופרמומים לקבוצה לא ריקה A ונסמנם <math>s,s'</math>.

עבור <math>s</math>:  <math>\exists s\in A \ \ \forall a\in A \ \ \ s\le a</math> על כן <math>s'\ge s</math>

עבור <math>s'</math>:  <math>\exists s'\in A \ \ \forall a\in A \ \ \ s'\le a</math> על כן <math>s\ge s'</math>

מכאן ש-<math>s=s'</math>

 
}}

{{הגדרה|
מספר=6|
שם=חסם תחתון (infimum / glb)|
תוכן=תהי <math>\empty \ne A\subseteq \mathbb{F}</math>. נאמר ש-<math>I\in\mathbb{R}</math> הוא חסם תחתון של הקבוצה אם:
# <math>\forall a\in A a\ge s</math>
#<math>\forall \epsilon>0 \ \exists a\in A \ I<a<I+\epsilon </math>
}}

{{טענה|
מספר=3|
שם=קיים אינפימום יחיד לקבוצה|
תוכן=
}}

{{משפט|
מספר=1|
שם=עקרון החסם העליון: תהי <math>\empty \ne A\subseteq \mathbb{F}</math> חסומה מלמעלה אזי יש לקבוצה חסם עליון בממשים|
תוכן=
נתון כי <math>A</math> חסומה מלמעלה. 

נסמן: <math>\empty\ne U\subset \mathbb{F}</math> קבוצת כל החסמים מלמעלה של הקבוצה <math>A</math>, בהכרח לא ריקה (הרי הקבוצה A חסומה מלמעלה).

על פי אקסיומת השלמות קיים <math>c\in\mathbb{R}</math> יחיד כך ש-<math>\forall a\in A \ \forall u\in U \ a\le c \le u</math>

כלומר <math>c=supA</math> מפני שהוא :
#<math>\forall a\in A \ a\le c</math>
#<math>c</math> הוא החסם הקטן ביותר בקבוצת החסמים <math>U</math>


}}

{{משפט|
מספר=1|
שם=עקרון החסם התחתון:: תהי <math>\empty \ne A\subseteq \mathbb{F}</math> חסומה מלמטה אזי יש לקבוצה חסם מלמטה בממשים|
תוכן=

}}

{{טענה|
מספר=4|
שם=תהי <math>\mathbb{R}^+=\{x\in\mathbb{R}|0<x\}</math> אזי <math>inf(\mathbb{R^+})=0</math>
|
תוכן=
אפס הוא חסם מלרע של <math>\mathbb{R}^+</math> על פי הגדרה. 

נניח בשלילה כי קיים חסם תחתון קטן יותר מאפס כלומר <math>I>0</math>.

יהי <math>\frac{I}{2}\in\mathbb{R}^+</math>. 

<math>\frac{I}{2}<I</math> כלומר <math>I</math> אינו חוסם אותו למרות שהוא שייך לקבוצה ולכן <math>I
</math> אינו חסם של הקבוצה. על כן <math>I\le0</math>

}}

[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]