הצגת המקור של הדף "חשבון אינפיניטסימלי/סימן הסכימה"

==הגדרה==
סכימה (Summation) מיוצגת על ידי סימן הסכימה, האות היוונית סיגמא, <math>\Sigma</math> והיא מוגדרת כך: 

יהי סדרה של מספרים <math>a_m,a_{m+1},\ldots,a_n \in \mathbb{R}</math> כאשר <math>m,n\in \mathbb{Z}</math> כך שמתקיים <math>m\le n</math> , אזי נכתוב כי סכום האיברים הוא: <math>\sum\limits_{k=m}^na_k=a_m+a_{m+1}+\cdots+a_{n-1}+a_n</math>.

* <math>k</math> נקרא אינדקס הסכימה.

לחלופין, ניתן לקרוא את הצורה <math>\sum\limits_{k=m}^na_k=a_m+a_{m+1}+\cdots+a_{n-1}+a_n</math> כסכום של הסדרה כאשר אנו רצים על אינדקס הסכימה (<math>k</math>) מהאות <math>m</math> ועד האות <math>n</math>.

===דוגמה 1===
<math>\sum_{p=3}^7\frac{1}{2^p}=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7}=\frac{31}{128}</math>

===דוגמה 2===
רשום את הסכום <math>5^3+5^4+5^5+\cdots+5^n</math> תוך שימוש בסימן הסכימה.

תשובה: ישנן דרכים רבות לכתוב סכום זה בשימוש בסימן הסכימה. אין דרך יחודית כלשהי. שתים מהדרכים הן:

<math>5^3+5^4+5^5+\cdots+5^n=\sum_{k=3}^n5^k=\sum_{k=1}^{n-2}{5^{k+2}}</math>

===דוגמא 3===
חשב את <math>\sum_{k=1}^nk^2(2k-1)</math> (הבע באמצעות <math>n</math>)

תשובה: נשתמש בכללים שהגדרנו קודם לכן ובזהויות הנ"ל ונקבל:

<center>
<math>\sum_{k=1}^nk^2(2k-1)=\sum_{k=1}^n(2k^3-k^2)=\sum_{k=1}^n2k^3-\sum_{k=1}^nk^2=2\sum_{k=1}^nk^3-\sum_{k=1}^nk^2</math>

<math>\begin{matrix}
=2\cdot\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}-\dfrac{n({n+1})(2n+1)}{6}=\dfrac{3n^2(n+1)^2-n(n+1)(2n+1)}{6}\\

=\dfrac{n(n+1)[3n(n+1)-(2n+1)]}{6}=\dfrac{n(n+1)(3n^2+3n-2n-1)}{6}\\

=\dfrac{n(n+1)(3n^2+n-1)}{6}
\end{matrix}</math>
</center>

==כללים לשימוש בסימן הסכימה==

'''כלל 1''': <math>\sum_{k=m}^nc\cdot a_k=c\cdot\sum_{k=m}^na_k</math>

''הוכחה:'' נפתח את שני אגפי הביטוי: <math>ca_m+ca_{m+1}+\cdots+ca_n=c(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n)</math> ולפי חוק הפילוג, זה מוכיח את הכלל.

'''כלל 2''': <math>\sum_{k=m}^n(a_k\pm b_k)=\sum_{k=m}^na_k\pm\sum_{k=m}^nb_k</math>

''הוכחה'': נפתח את שני אגפי הביטוי: <math>(a_m\pm b_m)+\cdots+(a_n\pm b_n)=(a_m+\cdots+a_n)\pm (b_m+b_{m+1}+\cdots+b_n)</math> ולפי חוק הקיבוץ וחוק החילוף, זה מוכיח את הכלל.

==זהויות ידועות==
הזהויות הבאות הן שימושיות ביותר תוך עבודה עם סימן הסכימה. יהי <math>c</math> קבוע ויהי <math>n</math> מספר שלם חיובי, אזי מתקיימות הזהויות הבאות:

'''זהות 1''': <math>\sum_{k=1}^nc=nc</math>. ([[/הוכחה/]])

'''זהות 2''': <math>\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}</math> ([[/הוכחה - טור המספרים הטבעיים/]])

ניתן להוכיח זהות זו באמצעות שימוש בנוסחא לסכום סדרה חשבונית, כאשר הפרש האברים בסדרה הוא 1.

'''זהות 3 (סכום ריבועים)''': <math>\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math> ([[/הוכחה - סכום ריבועים/]])

'''זהות 4''': <math>\sum_{k=1}^nk^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2</math> ([[/הוכחה/]])

'''זהות 5''': <math>\sum_{k=1}^nx^k=\frac{x(x^n-1)}{x-1}</math> ([[/הוכחה/]])


ניתן להוכיח זהות זו באמצעות שימוש בנוסחה לסכום סדרה הנדסית, כאשר מנת אבריה היא <math>x</math> .

'''זהות 6 (סכום מספרים אי-זוגיים)''': <math>\sum_{i=1}^n 2i-1 = n^2</math> ([[/הוכחה - סכום מספרים אי זוגיים/]])


זהויות אלו מובאות כאן עבור המקרה <math>k=1</math> מטעמי נוחיות, אך מובן כי ניתן להכלילן עבור כל <math>k=m</math> כלשהו. את כולן ניתן להוכיח באמצעות אינדוקציה מתמטית על <math>n</math> .

==קישורים חיצוניים==
*[http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/summationdirectory/Summation.html תרגילים (עם פתרונות מלאים) בשימוש בסימן הסכימה (מומלץ)]

[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]