הצגת המקור של הדף "מבוא לשיטות נומריות/אינטגרציה נומרית"

=הקדמה=
אפשרי רק עבור אינטגרלים מסוימים (גבולות אינטגרציה נתונים). מתי:
*כאשר יש לפתור אינטגרל מסובך או כאשר לא קיים פתרון אנליטי (לדוגמא <math>\int\limits_0^1 e^{-x^2}dx</math> .
*העדר פונקציה קדומה.
*הפונקציה נתונה ע"י ערכים בדידים ולא כפונקציה מפורשת (כמו בניסויים לדוגמא).

=שיטות=
#ניוטון-קוטס:
#*שיטת הטרפז
#*שיטת סימפסון
#*שיטות נוספות לאינטגרלים מרובים.
#אינטגרלים מרובים:
#*שיטת אינטגרציה בסימולציה.

==שיטות ניוטון-קוטס==
מחליפים את הפונקציה (או הנקודות) הנתונה בקירוב פשוט יותר, ומבצעים אינטגרציה של הפונקציה המקורבת.

הקירוב נעשה ע"י <u>אינטרפולציה פולינומיית</u> ויש להחליט איזה עקום הכי קרוב לפונקציה המקורית.

===שיטת הטרפז: ביצוע קירוב לפונקציה על ידי עקום מסדר 1 (קו ישר)===
*מחלקים את הקטע [a,b] ל-n קטעים שווים.

*ככל שנגדיל את n, אז h יקטן והדיוק יגדל. <math>h=\frac{b-a}{n}</math> - גודל הקפיצה

*שטח כל טרפז הוא:
:<math>S=\left(\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}\right)\cdot h</math>
*כעת ניתן להגדיר:
:<math>I=\int\limits_a^b f(x)dx=\{\text{sum of all trapezoids from}\ x_0\ \text{until}\ x_n\}=\sum_{k=0}^n \frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}h</math>
* נפתח את הביטוי ונקבל ביטוי פשוט יותר:
:<math>\int\limits_a^b f(x)dx=\frac{h}{2}\sum_{k=0}^n \big[f(x_k)+f(x_{k+1})\big]</math>

:<math>=\frac{h}{2}\Big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_2)+f(x_3)+\cdots\Big]</math>

:<math>=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+f(x_n)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)\right]</math>

*<u>השגיאה:</u>
:<math>E_k=-\frac{1}{12}f''(c)\frac{(x_k-x_{k-1})^2}{n^3}\quad x_{k-1}\le c\le x_k</math> - השגיאה בכל מקטע

:<math>E_I=-\frac{(b-a)^3}{12n^2}\bar f''</math> - השגיאה הכוללת

ניתן לראות שהשגיאה קטנה ככל ש- n גדל.

===שיטת סימפסון===
ביצוע קירוב לפונקציה ע"י אינטרפולציה ריבועית (עקום מסדר 2).

*דרך כל 3 נקודות מקרבים את הפונקציה באמצעות פולינום מסדר 2 ומחשבים את האינטגרל, באמצעות שיטת לגראנז'.

*מתחת לכל קירוב 3 נקודות ו-2 קטעים, ולכן <u>n חייב להיות זוגי</u>.

<math>h=\frac{b-a}{n}</math> - גודל הקפיצה

===שטח כל מקטע===
:<math>S=\int\limits_{x_k}^{x_{k+2}} f(x)dx=\int\limits_{x_k}^{x_{k+2}}\hat f(x)dx</math> - לפי לגראנז'

:<math>\int\limits_{x_k}^{x_{k+2}}=\left[{\color{Blue}\frac{(x-x_{k+1})(x-x_{k+2})}{(x_k-x_{k+1})(x_k-x_{k+2})}\cdot f(x_k)}+{\color{Red}\frac{(x-x_k)(x-x_{k+2})}{(x_{k+1}-x_k)(x_{k+1}-x_{k+2})}\cdot f(x_{k+1})}+{\color{OliveGreen}\frac{(x-x_k)(x-x_{k+1})}{(x_{k+2}-x_k)(x_{k+2}-x_{k+1})}\cdot f(x_{k+2})}\right]</math>

בכחול - <math>L_0(x)</math>

באדום - <math>L_1(x)</math>

בירוק - <math>L_2(x)</math>

<math>=\frac{x_{k+2}-x_k}{6}\big(f(x_k)+4f(x_{k+1})+f(x_{k+2})\big)</math>

*השטח הכולל:
:<math>I=\int\limits_a^b f(x)dx=\{\text{sum area of all segments}\}=\int\limits_{a=x_0}^{x_2}\hat f(x)dx+\int\limits_{x_2}^{x^4}\hat f(x)dx+\cdots+\int\limits_{x_{n-2}}^{x_n}\hat f(x)dx</math>

:<math>=\frac{h}{6}\Big[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\Big]+\frac{h}{6}\Big[f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\Big]+\cdots+\frac{h}{6}\Big[f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n)\Big]</math>

:<math>=\frac{b-a}{3n}\left[f(x_0)+4\sum_{k=1,3,5\ldots}^{n-1} f(x_k)+2\sum_{J=2,4,6\ldots}^{n-2} f(x_J)+f(x_n)\right]</math>

*השגיאה: 
:<math>E_k=-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(c)\quad x_k\le c\le x_{k+2}</math> עבור מקטע בודד

האינדקס (4) מציין נגזרת.
:<math>E_k=-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(c)(b-a)^5\quad a\le c\le b</math> - השגיאה הכוללת

===שיטות נוספות===
ביצוע קירוב לפונקציה ע"י פולינום מדרגה שלישית ומעלה.
*עבור פולינום מדרגה שלישית:
:<math>I=\frac{x_3-x_0}{8}\Big[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\Big]</math>

4 נקודות במרווחים שווים.

==אינטגרלים מרובים==
אינטגרלים כפולים (לא יעיל לאינטגרלים מסדר גבוה יותר).
*כעת נדרוש <math>n^2</math> נקודות.
:<math>I=\int\limits_{y_0}^{y_1} \int\limits_{x_0}^{x_1} f(x,y)dx dy</math>

*מספר הנקודות עולה בחזקת סדר האינטגרל: אינטגרל ב-10 ממדים ידרוש  <math>n^10</math> נקודות, ולכן מאלץ אותנו ל- <math>10^10</math> חישובים ולכן <u>לא יעיל</u>.

===שיטת האינטגרציה בסימולציה===
*נגדיר: <math>I=\int\limits_{x_0}^{x_1} f(x)dx=\int\limits_{x_0}^{x_1} \frac{f(x)}{g(x)}\cdot g(x) dx</math>

*נבחר: <math>g(x)</math> שתהיה פונקציית צפיפות הסתברות.

*אפשרות ל- <math>g(x)</math> :

- התפלגות אחידה

- התפלגות משתנים אקראיים.

*יצירת מספרים אקראיים מתוך <math>g(x)</math> , וחישוב ערכי הפונקציות <math>g(x),f(x)</math> עבור כל מספר אקראי.

*חישוב האינטגרל באמצעות: <math>I=\int\limits_{x_0}^{x_1} \frac{f(x)}{g(x)}\cdot g(x)dx=E\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] </math>

<center><math>I=\frac{1}{R}\sum_{k=1}^R \frac{f(x_k)}{g(x_k)}</math></center>

*<u>הסבר:</u> אנו מחשבים ערכים אקראיים ב- <math>f(x)</math> בין a ל-b. אם נעשה ממוצע של כל סכומי הערכים הללו נקבל תוצאה יחסית מדויקת ל-I. הכפלת כל ערך בערך התפלגותו הסטטיסטי יוצר ממוצע משוקלל ומדויק יותר לסכום הערכים האקראיים.

[[קטגוריה:מבוא לשיטות נומריות]]