הצגת המקור של הדף "מבוא לשיטות נומריות/משוואות דיפרנציאליות רגילות"

'''<u>הקדמה:</u>'''

- פתרון אנליטי נותן פונקציה <math>\ f(x) </math>

- פתרון נומרי נותן ערכים בנקודות מסויימות.

'''<u>סוגי בעיות:</u>'''

<u>א) בעיית מד"ר מסדר ראשון:</u>

:1) שיטת אויילר.

:2) שיטות סתומות.

:3) שיטת קרנק-ניקולסון.

:4) שיטת הנקודה המרכזית.

:5) שיטת אויילר המשופרת.

<u>ב) בעיית מד"ר מסדר שני או גבוה יותר:</u>

* שיטת רונגה-טונגה.

<u>ג) בעיית מערכת משוואות דיפרנציאליות:</u>

* שימוש בשיטת אויילר.

<u>ד) בעיית תנאי שפה (תנאי גבול)</u>

:1) shooting method.

:2) הפרשים סופיים.


<u>'''בעיית מד"ר מסדר ראשון'''</u>

* <u>צורה כללית</u>: <math>\ \frac{dy}{dx}=f(x,y(x)) </math>

* <u>ת. התכולה</u>: <math>\ y(x_0)=y_0 </math>

<u>'''1) שיטת אויילר'''</u>

<u>דרך א:</u>

* קירוב טיילור מסדר ראשון סביב <math>\ x_0 </math>: 
<math>\ y(x)=y(x_0)+(x-x_0)\frac{dy}{dx}(x_0) </math>

* אנו רוצים את הערך בנקודה הבאה <math>\ \Leftarrow x_1=x_0+h </math> נציב:
<math>\ y(x_1)=y(x_0)+(x_1-x_0)\frac{dy}{dx}(x_0) </math>

* הביטוי הכללי:

 <math>\ y(x_{i+1})=y_i+f(x_i,y_i)\cdot h+O(h^2) </math>

כאשר <math>\ O(h^2) </math> היא השגיאה.


<u>דרך ב:</u>

* במקום קירוב טיילור נבצע נגזרת קדמית:

<math>\ \frac{dy}{dx}(x_i)=\frac{y(x_i+h)-y(x_i)}{h}=\frac{y(x_{i+1}-y(x_i)}{h} </math>

* הביטוי הכללי:

 <math>\ y(x_{i+1})=y_i+f(x_i,y_i)\cdot h+O(h^2) </math>

* השגיאה: מושפעת מגודל הצעד ומורכבת משגיאה מקומית: עבור כל שלב בפתרון ומשגיאה גלובלית: שגיאה המצטברת עד לנקודה בפתרון.


<u>'''2) שיטות (סכמות) סתומות:'''</u>

* בדומה לאוילר נחשב נגזרת אך ע"י צעד אחורנית:

<math>\ \frac{dy}{dx}(x_i+1)=\frac{y(x_{i+1})-y(x_i)}{h} </math>

 <math>\ y_{i+1}=y(x_i)+f(x_{i+1},y_{i+1})h </math>

* הבעייה בשיטה זו: הנעלם <math>\ y_{i+1} </math> מופיע משני צידי המשוואה ולכן מדובר במשוואה <u>סתומה</u>.


<u>'''3) שיטת קרנק-ניקולסון'''</u>

* נחשב נגזרת ע"י קירוב מרכזי:

<math>\ \frac{dy}{dx}(x_{i+1/2})=\frac{y(x_{i+1})-y(x_i)}{2\cdot \frac{h}{2}} </math>

<math>\ \frac{y(x_{i+1})-y(x_i)}{h} = f(x_{i+1/2},y_{i+1/2}) </math>

* כעת נמצע:

<math>\ =\frac{f(x_i,y_i)+f(x_{i+1},y_{i+1})}{2} </math>

* נבודד את <math>\ y(x_{i+1}) </math>

 <math>\ y(x_{i+1})=y(x_i)+\frac{1}{2h}[f(x_i,y_i)+f(x_{i+1},y_{i+1})] </math>

* גם בשיטה זו ישנה בעייתיות כי הנעלם <math>\ y(x_{i+1})</math> מופיע משני צידי המשוואה ולכן מדובר במשוואה <u>סתומה</u>.


<u>'''יציבות'''</u>

* באופן כלי לשיטות סתומות תכונות יציבות-פתרון טובות יותר.

* שגיאות מצעדים קודמים אינן גדולות מצעד לצעד בפתרון.

* שיפורים לשיטת אויילר:

- קירוב טיילור מסדר גבוה (בעיה: הנגזרות של <math>\ f(x,y) </math> עלולות להיות מסובכות.

- הקטנת h גודל הצעד (בעיה: מספר החישובים גדל, שגיאות עיגול).

- קירוב יותר טוב לשיפוע הנגזרת הראשונה (אויילר משתמש בקירוב קדמי).


<u>'''4) שיטת הנקודה המרכזית'''</u>

* כמו בשיטת קרנק-ניקולסון, נחשב נגזרת ע"י קירוב מרכזי:

<math>\ \frac{y(x_{i+1})-y(x_i)}{h} = f(x_{i+1/2},y_{i+1/2}) </math>

 <math>\ y(x_{i+1})=y(x_i)+hf(x_{i+1/2},y_{i+1/2}) </math>

* ונחשב את <math>\ y_{i+1/2} </math> לפי שיטת אויילר:

 <math>\ y_{i+1/2}=y_i+\frac{h}{2}f(x_i,y_i) </math>

* אנו בעצם מחשבים את הנקודה החדשה ע"י ערך הנגזרת באמצע הקטע.


<u>'''5) שיטת אויילר המשופרת'''</u>

* <u>שלבי פתרון:</u>

:1) לפי אויילר: <math>\ y_{i+1}^0=y_i+f(x_i,y_i)\cdot h </math>
:2) נגדיר k=0.
:3) חישוב השיפוע הממוצע: <math>\ \bar f_i^k=\frac{f(x_i,y_i)+f(x_{i+1},y^k_{i+1})}{2} </math>
:4) לפי קרנק-ניקולסון: תיקון הנקודה החדשה. <math>\ y_{i+1}^{(k+1)}=y_i+\bar f_i^k \cdot h </math>
:5) k=k+1.
:6) לולאה, חזרה לשלב 3.

* בשיטה זו יש אפשרות לאיטרציות פנימיות (k). חוזים ערך לפונקציה בנקודה חדשה ומבצעים תיקון באמצעות שיפוע הנקודה החדשה.

* <u>סדר גודל השגיאה</u> בשיטה זו ובשיטת הנקודה המרכזית הוא מקומית <math>\ O(h^3) </math>, גלובלית <math>\ O(h^2) </math>

הקטנת הצעד משפרת דיוק.


<u>'''ב) בעיית מד"ר מסדר שני או גבוה יותר'''</u>

* צורה כללית: <math>\ \frac{d^2y}{dx^2}=f(x,y(x),y'(x)) </math>

* תאנים - 2 תנאים נתונים <u>באותה נקודה</u>: <math>\ y(x_0)=y_0 \quad , \quad y'(x_0)=y_0* </math>


<u>שיטת פתרון: רונגה טונגה</u>

* הביטוי הכללי: <math>\ y_{i+1}=y_i+\Phi(x_i,y_i,h)\cdot h </math>

* הפונקציה <math>\ \Phi (y_i,x_i,h) </math> מבטאת את השיפוע הממוצע.

עבור שיטה מסדר n:  <math>\ \Phi(x_i,y_i,h)=a_1k+1+a_2k_2+\cdots + a_nk_n </math>

כאשר ישנם n נעלמים:

<math>\ k_1=f(x_i,y_i) </math>

<math>\ k_2=f(x_i+b_1h,y_i+c_11k_1h) </math>

<math>\ \vdots </math>

<math>\ k_n=f(x_i+b_{n-1} \cdot h, y_i+c_{n-1,1}k_1h+c_{n-1,2}k_2h + \cdots + c_{n-1,n-1}k_{n-1}h) </math>

* <u>עבור בעיה מסדר שני:</u>

<math>\ y_{i+1}=y_i+(a_1k_1+a_2k_2)h </math>

<math>\ k_1=f(x_i,y_i) </math>

<math>\ k_2=f(x_i+b_1h, y_i+c_1k_1h) </math>

תנאים לפרמטרים: <math>\ a_1+a_2=2b_1a_2=2c_1a_2=1 </math>


- לפי אוילר המשופר: <math>\ a_1=\frac{1}{2} , a_2=\frac{1}{2} </math>

- לפי נקודה מרכזית: <math>\ a_1=0 , a_2=1 </math>



* ניתן לפתור מד"ר מסדר גבוה ע"י <u>הגדרת הבעיה מחדש במערכת משוואות מסדר I</u>:

<math>\ \begin{matrix} Z_1=y \\ Z_2=y' \\ Z_3 = y'' \\ \vdots \\ Z_n=y^{n-1} \end{matrix} </math>

<math>\ \Leftarrow </math> נפתור n משוואות מסדר I <math>\ \Leftarrow </math>

<math>\ \begin{matrix} Z_1'=Z_2 \\ Z_2'=Z_3 \\ \vdots \\ Z'_{n-1}=Z_n \\ Z'_n=f(x, Z_1, Z_2, \cdots , Z_n) \end{matrix}  </math>


* <u>דוגמא למד"ר מסדר II:</u>

<math>\ \frac{d^2y}{dx^2}=f(x,y,y') </math>

<math>\ y(x_0)=y_0 \quad , \quad y'(x_0)=y_0' </math>

*****

<math>\ Z_1=y \ quad , \quad Z_2=y' </math>

<math>\ Z_1'=Z_2=y' \quad , \quad Z'_2=y''=f(x,Z_1,Z_2) </math>

<u>תנאי התחלה</u>:  <math>\ Z_{1,0}=y_0 , z_{2,0} = y'_0 </math>


<u>'''ג) בעיית מערכת משוואות דיפרנציאליות:'''</u>

* <u>צורה כללית:</u>

<math>\ y'_1=f_1(x,y_1,y_2, \cdots , y_n) </math>

<math>\ y'_2=f_2(x,y_1,y_2, \cdots , y_n) </math>

<math>\ \vdots </math>

<math>\ y'_n=f_n(x,y_1,y_2, \cdots , y_n) </math>


* <u>תנאי התחלה:</u>

<math>\ y_1(x_0)=y_{1,0} </math>

<math>\ y_2(x_0)=y_{2,0} </math>

<math>\  \vdots </math>

<math>\ y_n(x_0)=y_{n,0} </math>

* <u>הפתרון:</u> n פונקציות

<math>\ y_1(x) </math>

<math>\ y_2(x) </math>

<math>\ \vdots </math>

<math>\ y_n(x) </math>

* <u>שיטת הפתרון:</u> נבצע אוילר מפורש לכל אחת מהמשוואות:

<math>\ =y_{1,i}+f_1(x_i,y_{1,i},y_{2,i}, \cdots , y_{n,i})\cdot h </math>

<math>\ =y_{2,i}+f_2(x_i,y_{1,i},y_{2,i}, \cdots , y_{n,i})\cdot h </math>

<math>\ \vdots </math>

<math>\ =y_{n,i}+f_n(x_i,y_{1,i},y_{2,i}, \cdots , y_{n,i})\cdot h </math>

* בכתיב מטריציאלי:

- הבעיה:  <math>\ Y'=f(x,Y(x)) , Y(x_0)=Y_0 </math>

- הפתרון:

<math>\ Y=[y_1,y_2, \cdots , y_n]^T </math>

<math>\ Y_0=[y_{1,0},y_{2,0}, \cdots , y_{n,0}] </math>

<math>\ Y_{i+1} = Y_i +f(x_i,Y(x_i))h </math>


<u>'''3) בעיית תנאי שפה:'''</u>

* <u>צורה כללית</u>:  <math>\ y=f(x,y,y) </math>

* <u>תנאי התחלה</u>:  

<math>\ a \ne b </math> הערכים של תנאי ההתחלה אינם באותה נקודה כמו שהיה עד כה.

<math>\ y(a)=y_a \quad , \quad y(b)=y_b </math>


<u>1) שיטת shooting method</u> - ניחוש ותיקון ערכים התחלתיים.

* שלבי פתרון:

:1) הנח תנאים התחלתיים.

:2) פתרון בעיית הערך ההתחלתי.

:3) חישוב תנאי הגבול שהתקבלו.

:4) תיקון התנאים ההתחלתיים.

:5) חזרה לשלב 2 בלולאה.


* <u>כיצד מתקנים את התנאים ההתחלתיים?</u> (שלב 4)

- מנחשים תנאים התחלתיים (שלב 1) ומתאימים עקום אינטרפולציה לשם תיקונם.

- פותרים את המשוואה הלא לינארית

<math>\ BC-g(IV)=0 </math>

כאשר BC הוא תנאי הגבול - boundry conditions

ו- I הוא עקום האינטרפולציה של התנאים ההתחלתיים שניחשנו <math>\ g(Initial Value) </math>


<u>2) שיטת ההפרשים הסופיים</u>

* נבטא את הנגזרת השניה באמצעות "קירוב לנגזרת שנייה" (מפרק גזירה נומרית)
<math>\ y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}=h^2 \cdot y'' = h^2 \cdot f(x_i,y_i) </math>

* משוואה זו מוגדרת עבור הנקודות הפנימיות בלבד ולא עבור נקודות שפה (כי היא מצריכה גם צעד קדימה וגם צעד אחורה) ולכן עבור n+1 משתנים תתקבלנה n-1 משוואות.

<math>\ y_0-2y_1+y_2=h^2 \cdot f(x_1,y_1) </math> - נקודה 1

<math>\ \vdots </math>

<math>\ y_{n-2}-2y_{n-1}+y_n=h^2 \cdot f(x_{n-1},y_{n-1}) </math> - נקודה n-1

* דרושות עוד 2 משוואות לפתרון:

- מקרה I: תנאי דריכילה: מוסיפים את שני תנאי השפה למשוואות: <math>\ y(a)=y_a \quad , \quad y(b)=y_b </math>

- מקרה II: תנאי ניומן: תנאי גבול הנתונים באמצעות נגזרות: <math>\ y'(x_0)=y_0' \quad , \quad y'(x_N)=y_N' </math>

* מוסיפים שתי משוואות שהן קירוב לנגזרת:

1. קירוב קדמי/ אחורי: <math>\ y_N'= \frac{y_N-y_{N-1}}{h} </math>

'''חסרון''': שגיאת הקיטוע גדולה יותר: <math>\ y_0'=\frac{y_1-y_2}{h} </math>

2. קירוב נגזרת מרכזית:  <math>\ y'_N=\frac{y_{N+1}-y_{N-1}}{2h} </math>

'''חסרון''': עלי להוסיף 2 משוואות כי נוספים כעת שני נעלמים: <math>\ x_{-1} \quad , x_{N+1} </math>

<math>\ x_0m x_N </math> הופכות להיות נקודות פנימיות.

'''נקודת דמי''': חישוב נקודה נוספת מעבר לגבול

נוספו 2 משוואות מתנאי הגבול אבל נוספו 2 נעלמים חדשים <math>\ x_{-1} , x_{N+1} </math> ולכן יש צורך בעוד 2 משוואות:

<math>\ y_{N+1}=y_{N-1}+2h \cdot y_N' </math>

<math>\ y_1=y_{-1}+2h \cdot y'_0 </math>\

3. קירוב קדמי או אחורי עם שגיאה מסדר גבוה יותר. 

מתקבל על ידי קירוב טיילור מסדר II <math>\ y'_N = \frac{3y_N-4y_{N-1}+y_{N-2}}{2h} </math>

וקירוב אחרוי לנגזרת השניה.

חסרון: פוגע במבנה התלת אלכסוני של המטריצה שיש לפתור אח"כ (מערכת המשוואות).

* לאחר שביטאנו n+1 משוואות עבור n+1 נעלמים, ניתן ליצור מטריצה תלת אלכסונית ולפתור באמצעות אלגוריתם תומאס.