הצגת המקור של הדף "משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת לפלס לפתרון בעיות תנאי התחלה"

התמרת לפלס היא התמרה מוכרת מאוד ונפוצה בהנדסה.

התמרת לפלס הינה מהצורה:
 <math>\ \mathcal{L}\left[f(x)\right] = F(p) = \int\limits_0^{\infty} e^{-px}f(x)\mathrm{d}x</math>

היתרונות בהתמרה זו הינם:
* השילוב הקל של תנאי התחלה בתהליך הפתרון שהיא מאפשרת.
* קיימת ספרות נרחבת עם טבלאות התמרות מפורטות.

החסרונות בהתמרה הינם:
* מתאימה רק לבעיות תנאי התחלה (כלומר כאשר ערך הפונקציה ונגזרותיה נתונות בזמן t=0).
* על מנת להגיע לפתרון במשתנים המקוריים לעתים דרוש לבצע התמרה הפוכה שאינה שגרתית, שתהיה מלווה במציאת שאריות וכיו״ב.

==השיטה==
השיטה, בדומה לכל השיטות האינטגרליות, מתבססת על ההנחה כי ניתן לשנות סדר בין גזירה לאינטגרציה ושמשתנה ההתמרה מתפקד כפרמטר, כלומר שמתקיים:
 <math>\ \mathcal{L}\left[ \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial^2 x} \right] = 
\int\limits_0^{\infty} e^{-pt}\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial^2 x} \mathrm{d}t = 
\frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}x^2} \int\limits_0^{\infty} e^{-pt} u(x,t) \mathrm{d}t = 
\frac{\mathrm{d^2}U(x,p)}{\mathrm{d}x^2}
</math>

==דוגמאות==
===בעיית גלים במיתר חצי־אינסופי===
נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:
 <math>\ \begin{cases}
u_{tt}=u_{xx},\ x>0 \\
u(x,0)=u_t(x,0)=0 \\
u(0,t) = t
\end{cases}
</math>

נפעיל את ההתמרה על המשתנה t (שבו נתונים תנאי ההתחלה) בשני האגפים ונקבל:
 <math>\ p^2U(x,p) - p\overbrace{u(x,0)}^{=0} - \overbrace{u_t(x,0)}^{=0} = U''(x,p)</math>

כלומר קבלנו מד"ר פשוטה בפונקציה U ובמשתנה x:
 <math>\ U'' -p^2 U = 0 \quad\Rightarrow\quad U(x,p)=A(p)e^{px} + B(p)e^{-px}</math>

על מנת למצוא את המקדמים (התלויים ב-p!) צריך:
# להבטיח ש-U חסומה, ולכן דרוש לאפס את A.
# להתמיר את תנאי השפה:
 <math>\ U(0,p)=\mathcal{L}[u(0,t)]=\frac{1}{p^2} =B(p)</math>

כך שהפתרון הוא:
 <math>\ U(x,p) = \frac{1}{p^2}e^{-px}</math>

לבסוף נבצע התמרת לפלס הפוכה כדי לחזור למישור הזמן:
 <math>\ \mathcal{L}^{-1}[U(x,p)] = u(x,t) = t-x</math>

למעשה הפתרון הקפדני יותר הוא
 <math>\ u(x,t)=H(t-x)\cdot(t-x)</math>
כאשר H היא פונקצית המדרגה של Heaviside, והיא נמצאת בפתרון מכיוון שתחום הבעיה הוא x>0.

===בעיית גלים במיתר סופי===
נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:
 <math>\ \begin{cases}
u_{tt}=c^2 u_{xx},\ 0\le x\le l \\
u(x,0)=u_t(x,0)=0 \\
u(0,t) = g(t),\ u(l,t)=0
\end{cases}
</math>

בדומה למקרה הקודם, נפעיל התמרת לפלס על המשתנה שבו נתונים תנאים ב-0, כלומר המשתנה t, ונקבל את המד"ר הבאה:
 <math>\ U'' -{p^2\over c^2} U = 0 \quad\Rightarrow\quad U(x,p)=A(p)e^{{p\over c}x} + B(p)e^{-{p\over c}x}</math>

על מנת למצוא את המקדמים (התלויים ב-p!) צריך להשתמש בשני תנאי השפה הנתונים (כאן לא ניתן להשתמש בטיעון החסימות מכיון שהבעיה מוגבלת לתחום סופי):
 <math>\ \left\{\begin{array}{ll}
U(0,p)=G(p): & A(p)+B(p)=G(p) \\
U(l,p)=0: & A(p)e^{{p\over c}l} + B(p)e^{-{p\over c}l}=0
\end{array}\right.
</math>

ביצוע מספר מניפולציות אלגבריות יביאו לתוצאה:
 <math>\ U(x,p)=G(p)\frac{\sinh\left[ \frac{p}{c}(l-x) \right]}{\sinh\left( \frac{p}{c}l \right)}</math>

כעת נותר לבצע התמרת לפלס הפוכה על הביטוי שלעיל. ע"פ תכונת הקונבולוציה, ההתמרה ההפוכה הינה:
 <math>\ u(x,t)=g(t)*\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{\sinh\left[ \frac{p}{c}(l-x) \right]}{\sinh\left( \frac{p}{c}l \right)} \right\}</math>
{{תזכורת|ויקיפדיה: [[w:משפט השאריות|משפט השאריות]]}}
כך שעלינו למצוא את התמרה ההפוכה של הגורם הימני בלבד (הפונקציה הכללית g נתונה בבעיה). נשתמש לצורך כך במשפט השאריות של קושי:
 <math>\ \mathcal{L}^{-1}\left\{F(p)\right\} = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(p)e^{pt}\mathrm{d}p = \sum\limits_{k=1} \operatorname{Res}\left[F(p)e^{pt},p_k\right]</math>

הקטבים של הפונקציה הם האפסים של <math>\ \sinh(pl/c)</math> כלומר: <math>p_k=\pm \pi i {c\over l}k</math>. לצורך חישוב הקטבים ניזכר במשפט מאנליזה מרוכבת שעל פיו הקטבים של מנת־פונקציות מתקבלים מתוך חלוקת המונה בנגזרת המכנה (בתנאי שאינה אפס שם):
 <math> \operatorname{Res}\left\{ \frac{f_1(z)}{f_2(z)},z_p \right\} = \frac{f_1(z_p)}{f_2^{\prime}(z_p)}</math>

כך שמתקבל:
 <math> \operatorname{Res}\left[F(p)e^{pt},p_k\right] = -i{c\over l}\sin\left( \pi k\frac{x}{l} \right)e^{i\pi k\frac{c}{l}t}</math>

בסה״כ, ע״י שימוש בזהות <math>\ \sin(x)=\tfrac{i}{2}(e^{-ix}+e^{ix})</math> ובסימטריה של הקטבים מתקבל:
 <math> f(x,t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{F(p)\right\} = 2{c\over l}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sin\frac{\pi k x}{l}\sin\frac{\pi k ct}{l}</math>

ולכן התשובה הסופית הינה הקונבולוציה:
 <math>\ u(x,t) = \int\limits_0^t g(t-\tau)f(x,\tau)\mathrm{d}\tau = 2{c\over l}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sin\frac{\pi k x}{l} \int\limits_0^t g(t-\tau)\sin\frac{\pi k c\tau}{l}\mathrm{d}\tau</math>

ראו גם [[משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת פורייה#בעיית גלים במיתר סופי|פתרון הבעיה בעזרת התמרת פוריה]].

==לקריאה נוספת==
* פרק 5: Partial Differential Equations (עמ׳ 175) בספר: Schiff, Joel L., The Laplace transform: theory and applications, Springer-Verlag, 1999, New York ISBN 0387986987.
* טבלאות Laplace Transforms בספר [http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/toc.htm Abramowitz, M., Stegun I., Handbook of Mathematical Functions].

[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות חלקיות]]