הצגת המקור של הדף "משוואות דיפרנציאליות רגילות/קירובים אסימפטוטיים"

קירוב אסימפטוטי הוא קירוב לפתרון בתחום מסויים. אם לדוגמה הפתרון האמיתי בתחום <math>0\le x<\infty</math> הוא y, אולי ניתן לקרב את הפתרון באמצעות y<sub>1</sub> לתחום סביב 0 ובאמצעות y<sub>2</sub> עבור x-ים גדולים. כלומר:
 <math>\ \lim_{x\to 0} \frac{y_1}{y}=1,\quad \lim_{x\to \infty} \frac{y_2}{y}=1</math>
ואז ניתן לכתוב:
 <math>\ \begin{cases}
y_1(x)\sim y(x), & x\to 0 \\
y_2(x)\sim y(x), & x\to \infty
\end{cases}
</math>

בשיטת קירוב אסימפטוטי מוצאים קירוב לפתרון ללא פתירת המד"ר כלל.

==השיטה==
מציבים לתוך המד"ר את הפונקציה הכללית
 <math>\ y(x)\sim e^{S(x)}</math>
ומקבלים מד"ר חדשה עבור S (כי האקספוננט יצטמצם). בשלב זה מחליטים אילו איברים ניתן להזניח בהשוואה לאחרים (לדוגמה <math>S^{\prime} \ll S^{\prime\prime}</math>) ופותרים את המד"ר הנותרת לצורך קבלת הביטוי ל-S. בשלב האחרון בודקים אם הפתרון שהתקבל לא סותר את ההזנחות שבוצעו. אם דרוש קירוב טוב יותר, מוסיפים גורם נוסף פרט ל-S שהתקבל ופותרים שוב:
 <math>\ \begin{cases}
y\sim e^{S(x)+T(x)} \\
T(x) \ll S(x)
\end{cases}
</math>
וחוזר חלילה, עד אשר שמקבלים סתירה.

==מד"ר כללית מסדר 2==
נעסוק במד"ר כללית מסדר 2:
 <math>\ y^{\prime\prime}(x)+p(x)y^{\prime}(x)+q(x) y(x)=0</math>

נציב לתוך המדר את הקירוב
 <math>\ y\sim e^{S(x)}</math>

ועל ידי שימוש בכלל השרשרת נקבל:
 <math>\ S^{\prime\prime}(x)e^{S(x)} + [S^{\prime}(x)]^2 e^{S(x)} + p(x)S^{\prime}(x)e^{S(x)} + q(x)e^{S(x)} = 0</math>

נצמצם את האקספוננט ונקבל מד"ר חדשה עבור S:
 <math>\ S^{\prime\prime}(x) + [S^{\prime}(x)]^2 + p(x)S^{\prime}(x) + q(x)=0</math>

===דוגמה א'===


[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות רגילות]]