הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות עם שברים"

===שלבים===
#  נמצא את תחום ההגדרה של אי-השוויון.
# אם ניתן נעביר אגפים כך שבצד אחד של אי-השוויון יהיה אפס ובצד שני שבר (המומלץ ביותר).
#*שבר הוא חיובי אם המכנה והמונה שלו הם שווי סימן, והוא שלילי אם הם שוני סימן
# אם ניתן, נעביר אגפים כך שבצד אחד יהיה גורם חופשי ומצד שני שבר (עדיף להמנע).
#* נכפיל את שני האגפים של אי-השוויון במכנה בשנייה תוך שמירה על כיוון סימן האי-שיוויון (הערך של המכנה בריבוע חיובי כיוון שבתחום ההגדרה המכנה שונה מאפס).    
# במידה ולא ניתן להעביר אגפים נצטרך לפתור את אי-השוויון בדרך הארוכה. נבדוק את המקרים בהם המכנה חיובי ושלילי כפי שמוסבר [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות עם ערך מוחלט/אי-שוויונות עם שני ערכים מוחלטים או יותר|'''כאן''']]
# נסכם את הפתרונות

===בדיקת חיוביות ושליליות===
{{תרגיל
|מספר=1
|שאלה=<math>\frac{x+2}{x-3}\ge-4</math>
|פתרון=

'''שלב א': '''נעביר את כל הגורמים לאגף אחד

<math>\frac{x+2}{x-3}+4\ge0</math>

'''שלב ב':''' נמצא מכנה משותף:

<math>\frac{x+2}{x-3}+\frac{4(x-3)}{x-3}\ge0</math>

<math>\frac{(x+2)+4(x-3)}{x-3}\ge0</math>

<math>\frac{x+2+4x-12}{x-3}\ge0</math>

<math>\frac{5x-10}{x-3}\ge0</math>

נחלק בחמש :<math>\frac{x-2}{x-3}\ge0</math>

'''שלב ג':''' מכפילים במכנה בריבוע:

<math>\frac{x-2}{x-3}\ge0\qquad\bigg/\cdot (x-3)^2</math>

<math>\frac{(x-2)(x-3)^2}{x-3}\ge0\qquad\bigg/\cdot (x-3)^2</math>

<math>(x-2)(x-3)\ge0</math>

<math>x>3</math> או <math>x\le2</math>

'''שלב ד':''' נסכם את הפתרונות 
<math>x>3</math> או <math>x\le2</math>
|יישור=ימין
}}


===הכפלה ללא משוואת אפס===
{{תרגיל
|מספר=2
|שאלה=<math>\frac{x+2}{x-3}\ge-4</math>
|פתרון=
'''שלב א':''' נבדוק תחום הגדרה למכנה (מתי הוא מתאפס): <math>x\ne3</math> 

'''שלב ב':''' הצלחנו ליצר מבנה בו בצד אחד יש גורם חופשי ומצד שני שבר. אם כן נוכל להעזר בדרך הקלה ולהכפיל בשנייה.

<center><math>\frac{(x+2)(x-3)^2}{(x-3)}\ge-4(x-3)^2</math></center>

'''שלב ג':''' נפתור

<math>(x+2)(x-3)\ge-4(x^2-6x+9)</math>

<math>x^2+2x-3x-6\ge-4x^2+24x-36</math>

<math>x^2-x-6\ge-4x^2+24x-36</math>

<math>5x^2-25x+30\ge0</math>

<math>x^2-5x+6\ge0</math>

<math>x_1=2\quad,\quad x_2=3</math>

<math>x\ge3</math> או <math>x\le2</math>

'''שלב ד':''' נסכם את הפתרונות 
<math>x>3</math> או <math>x\le2</math>

{{תזכורת| סיכום והערות:
#לסיכום, הטכניקה היא הכפלת אי-השוויון במכנה בריבוע (כדי שיווצר ביטוי חיובי). משם פותרים רגיל.
#יש לשים לב כי מכפילים את שני האגפים בריבוע, ולא בטעות רק אחד מהם.
#יש לשים לב שתחום ההגדרה '''אינו''' נכלל בפתרון. הכללת תחום ההגדרה מהווה שגיאה חמורה.
}}
|יישור=ימין}}



===דרך ארוכה===
קיימים מצבים בהם אין לנו ברירה אלא לפתור באמצעות הדרך הארוכה 

;דוגמא 2
פתרו את אי-השוויון:
<center><math>\frac{x^2-9}{x+4}\le0</math></center>
;פתרון
נפתור את התרגיל בעזרת חלוקה למקרים. כדי שהשבר יהיה שלילי (רק שלילי) יש שתי אפשרויות:
#<math>x^2-9<0</math> וגם <math>x+4>0</math>
#<math>x^2-9>0</math> וגם <math>x+4<0</math>

נפתור את שתי האפשרויות בנפרד, ולבסוף נפעיל בין הפתרונות שלהן קשר "או":

1.
:<math>(x-3)(x+3)<0</math> וגם <math>x>-4</math>

:<math>-3<x<3</math> וגם <math>x>-4</math>

:<math>-3<x<3</math>

2.
:<math>(x-3)(x+3)>0</math> וגם <math>x<-4</math>

:<math>x>3\big)</math> או <math>\big(x<-3</math> וגם <math>x<-4</math>

:<math>x<-4</math>

לכן הפתרון של שליליות השבר הוא: <math>x<-4</math> או <math>-3<x<3</math>

כמו-כן, יש לבדוק מתי השבר מתאפס (כך נתבקשנו) ולכן:
:<math>\frac{x^2-9}{x+4}=0</math>

:<math>x^2-9=0</math>

:<math>x_1=-3\quad,\quad x_2=3</math>

ולכן הפתרון הסופי הוא:
:<math>x<-4</math> או <math>-3\le x\le3</math>

{{תוכן|
|הפרק הקודם=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות עם ערך מוחלט|אי־שוויונות עם ערך מוחלט]]
|הפרק הנוכחי=אי־שוויונות עם שברים
|תרגילים=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות עם שברים/תרגילים|תרגילים]]
|הפרק הבא=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות ממעלה שלישית או יותר|אי־שוויונות ממעלה שלישית או יותר]]
}}
[[קטגוריה:אלגברה תיכונית - אי שיויונות]]