הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות"

{{לאחד| [[חשבון/חזקה]]|ערך חדש=הערך המאוחד שעדיין איננו קיים|דיון=המקום בו נמצא הדיון}}

חזקות הן מעין הכללה של פעולת הכפל, ומאפשרות לכתוב ביטויים מסובכים בצורה פשוטה.

===סימון חזקות===
חזקה מסמנים כאינדקס עליון למספר (או משתנה): 3 בחזקת 5 כותבים כך: <math>3^5</math> .

ל-3 נקרא '''בסיס''' החזקה. 
ל-5 נקרא '''מעריך''' החזקה. 

*כאשר שהמעריך נמצא בחזקת שתיים נהוג לומר '''בריבוע''' במקום בחזקת שתיים: <math>c^2</math> דהיינו c בריבוע.
*כשהמעריך הוא גדול משתים יש לבטא '''בשלישית''' עבור 3, '''ברביעית''' עבור 4 וכו': <math>3^5</math> יש לבטא 3 בחמישית. 
*דרך נוספת לסמן חזקות היא באמצעות סימן הגג: ^. למשל 5^3 זה 3 בחמישית, a^b זה a בחזקת b וכו'.

===משמעות החזקה עם מעריך טבעי===
אם ה{{מונח/חזקות מעריך}} הוא {{מונח/מספר טבעי}} אזי החזקה היא '''הבסיס כפול עצמו כמספר הפעמים שכתוב במעריך'''. 
למשל, כדי לחשב את החזקה <math>3^4</math> , עלינו לכפול את 3 בעצמו 4 פעמים על מנת לקבל את הערך של החזקה. כלומר:
:<math display=block>3^4=3\times3\times3\times3</math>

באופן כללי ניתן להציג חזקה עם {{מונח/חזקות בסיס}} <math>a</math> ו{{מונח/חזקות מעריך}} שהוא {{מונח/מספר טבעי}} <math>n</math> בצורה הבאה:
<math display=block>a^n=\underbrace{a\times\cdots\times a}_{n\text{ times}}</math>
{{דוגמה
|מספר=1
|שם=חשב את החזקה <math>5^3</math>
|תוכן=<math>5^3=5\times5\times5=125</math>
}}
{{דוגמה
|מספר=2
|שם=חשב את החזקה <math>2^8</math>
|תוכן=<math>2^8=\underbrace{2\times\cdots\times2}_{8\text{ times}}=256</math>
}}
{{דוגמה
|מספר=3
|שם=חשב את החזקה <math>\left(\frac12\right)^2</math>
|תוכן=<math>\left(\frac12\right)^2=\frac12\times\frac12=\frac{1\cdot1}{2\cdot2}=\frac14</math>
}}
{{דוגמה
|מספר=4
|שם=חשב את החזקה <math>(-1)^3</math>
|תוכן=<math>(-1)^3=(-1)\times(-1)\times(-1)=-1</math>
}}

===חוק החילוף אינו מתקיים בחזקה===
החזקה '''לא''' מקיימת את חוק החילוף (יש מקרים יחידים שהיא כן).

למשל: <math>10^3=10\cdot10\cdot10=1000\ne3^{10}=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=59,049</math>

===פעולות על חזקות===
כאמור עבור <math>a^b</math> הבסיס הוא <math>a</math> ואילו המעריך הוא <math>b</math> . יש לבטא "<math>a</math> בחזקת <math>b</math>".
{| class=wikitable border="1"
|-
! פעולת החשבון המבוקשת
! החוק
! הסבר
! דוגמא
|-
| כפל חזקות עם אותו בסיס
|<math>a^b\cdot a^c=a^{b+c}</math>
| 
נבדוק כיצד לכפול חזקות עם אותו בסיס:
:<math display=block>a^b\cdot a^c=\overbrace{\underbrace{a\times\cdots\times a}_{b\text{ times}}\cdot\underbrace{a\times\cdots\times a}_{c\text{ times}}}^{b+c\text{ times}}=a^{b+c}</math>
אם נסתכל על הנוסחה הפוך נבין כיצד לפרש סכום במכנה.
:<math display=block>a^{b+c}=\overbrace{\underbrace{a\times\cdots\times a}_{b\text{ times}}\cdot\underbrace{a\times\cdots\times a}_{c\text{ times}}}^{b+c\text{ times}}=a^b\cdot a^c</math>
על כן כאשר החזקות הן בעלות אותו הבסיס, כפל של שתי חזקות מביא ל'''חיבור/חיסור המעריכים'''. 
| <math>\begin{align}a^2\cdot a^3&=(a\cdot a)\cdot(a\cdot a\cdot a)\\&=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^5=a^{2+3}\end{align}</math>
|-
| חילוק חזקות עם אותו בסיס
| <math>\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}</math>
| נבדוק כיצד לחלק חזקות עם אותו בסיס: <math>\frac{a^b}{a^c}</math> .
נבחין בשלושה מקרים.

מקרה א': <math>b>c</math> .
:<math display=block>\begin{align}
\frac{a^b}{a^c}=\frac{\overbrace{a\times\cdots\times a}^{b\text{ times}}}{\underbrace{a\times\cdots\times a}_{c\text{ times}}}\\
c+(b-c)=b\\
\frac{\overbrace{a\times\cdots\times a}^{c\text{ times}}\overbrace{a\times\cdots\times a}^{b-c\text{ times}}}{\underbrace{a\times\cdots\times a}_{c\text{ times}}}
\end{align}</math>
נצמצם מספר שווה של <math>a</math> במונה ובמכנה.
:<math display=block>\begin{align}
\frac{\overbrace{\not{a}\times\cdots\times\not{a}}^{c\text{ times}}\overbrace{a\times\cdots\times a}^{b-c\text{ times}}}{\underbrace{\not{a}\times\cdots\times\not{a}}_{c\text{ times}}}&=\overbrace{a\times\cdots\times a}^{b-c\text{ times}}\\&=a^{b-c}
\end{align}</math>
ניתן להשתמש בנוסחה גם בכיוון ההפוך:
:<math display=block>a^{b-c}=\frac{a^b}{a^c}</math>
| <math>\frac{a^3}{a^2}=\frac{a\cdot a\cdot a}{a\cdot a}=a=a^1=a^{3-2}</math>
|-
| מעריך 0
| <math>a^0=1</math> כאשר <math>a\ne0</math> 
| נבדוק מה קורה כאשר המעריך שווה ל-0. לצורך כך נשתמש בנוסחה לחילוק חזקות עם אותו בסיס.
נשתמש בעובדה <math>b-b=0</math>
:<math display=block>a^0=a^{b-b}=\frac{a^b}{a^b}=1</math>
לסיכום: כל מספר בחזקת 0 שווה ל-1. <math>a^0=1</math>
*יוצא מן הכלל: <math>0^0</math> . הביטוי 0 בחזקת 0 אינו מוגדר..
|
|-
| חזקות עם מעריך שלילי
| <math display=block>a^{-b}=\frac{1}{a^b}</math>
| נבדוק מה קורה כאשר המעריך שלילי:
:<math display=block>a^{-b}=a^{0-b}=\frac{a^0}{a^b}=\frac{1}{a^b}</math>
*הערה: 0 בחזקת מספר שלילי שוב יתן חלוקה באפס ולכן אינו מוגדר: <math>0^{-a}=\frac{1}{0^a}=\frac10</math>
| <math>2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac14</math>
|-
| מעריך 1
| <math display=block>a^1=a</math>
| כל מספר בחזקת 1 שווה לעצמו זאת בגלל הגדרת החזקה.
|
|-
| חזקה של חזקה
| <math display=block>(a^b)^c=a^{b\cdot c}</math>
| נשתמש ב{{מונח/חוקי חזקות מכפלה}} שכבר למדנו, לכפל של שתי חזקות עם אותו {{מונח/חזקות בסיס}}.
:<math display=block>(a^b)^c=\underbrace{a^b\times\cdots\times a^b}_{c\text{ times}}=a^{\overbrace{\scriptstyle{b+\cdots+b}}^{c\text{ times}}}=a^{b\cdot c}=(a^c)^b</math>
| <math>\begin{align}(5^2)^3&=(5^2)\cdot(5^2)\cdot(5^2)=(5\cdot5)\cdot(5\cdot5)\cdot(5\cdot5)\\&=5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5=5^6=5^{2\cdot3}\end{align}</math>
|-
| כפל חזקות עם אותו מעריך
| <math>a^c\cdot b^c=(a\cdot b)^c</math>
| כאשר כופלים חזקות עם אותו מעריך, אפשר להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים:
:<math display=block>a^c\cdot b^c=\underbrace{a\times\cdots\times a}_{c\text{ times}}\cdot\underbrace{b\times\cdots\times b}_{c\text{ times}}</math>
על־פי {{מונח/חוק החילוף בכפל}}, נסדר אחרת את המשוואה:
:<math display=block>\underbrace{\underbrace{a\cdot b}\times\cdots\times\underbrace{a\cdot b}}_{c\text{ times}}=</math>
על־פי {{מונח/חוק הקיבוץ בכפל}} נוסיף סוגריים:
:<math display=block>\underbrace{(a\cdot b)\times\cdots\times(a\cdot b)}_{c\text{ times}}=</math>
על־פי הגדרת החזקה:
:<math display=block>=(a\cdot b)^c</math>
| <math>\bigl((-2)\cdot3\bigr)^2=(-2)^2\cdot3^2</math>
|-
| חילוק חזקות עם אותו מעריך
| <math>\frac{a^c}{b^c}=\left(\frac{a}{b}\right)^c</math>
|כאשר מחלקים חזקות עם אותו מעריך, באותו אופן ניתן שוב להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים:
:<math display=block>\frac{a^c}{b^c}=\frac{\overbrace{a\times\cdots\times a}^{c\text{ times}}}{\underbrace{b\times\cdots\times b}_{c\text{ times}}}</math>
נסדר אחרת את השבר:
<math display=block>\underbrace{\frac{a}{b}\times\cdots\times\frac{a}{b}}_{c\text{ times}}=</math>
על־פי הגדרת החזקה:
:<math display=block>=\left(\frac{a}{b}\right)^c</math>
| <math>\left(\frac23\right)^3=\frac23\cdot\frac23\cdot\frac23=\frac{2\cdot2\cdot2}{3\cdot3\cdot3}=\frac{2^3}{3^3}</math>
|-
| חזקה של 1
| <math display=block>1^a=1</math>
| 1 בחזקת כל מספר שווה ל־1. זאת בגלל שלא משנה כמה נכפול אותו בעצמו,{{ש}}הוא ישאר 1 זאת בגלל הגדרת החזקה.
|
|-
| חזקה של אפס
| <math>0^a=0</math> כאשר <math>a>0</math>
| 0 הוא מספר מיוחד בחזקות, והוא אינו מוגדר לכל מעריך. עם מעריך שהוא {{מונח/מספר טבעי}} ברור לנו שלא משנה כמה פעמים נכפול 0 בעצמו, נקבל 0.
|
|}

===סיכום===
{| class="wikitable" align="center" 
|-
! החוק !! דוגמה
|-
| <math>a^m\cdot a^n=a^{m+n}</math>
| <math>10^3\cdot10^4=10^{3+4}=10^7=10,000,000</math>
|-
| <math>(a\ne0)\quad\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}</math>
| <math>\frac{10^5}{10^3}=10^{5-3}=10^2=100</math>
|-
| <math>(a^m)^n=a^{mn}</math>
| <math>(10^2)^3=10^{2\cdot3}=10^6=1,000,000</math>
|-
| <math>(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n</math>
| <math>(2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3=8\cdot125 =1,000</math>
|-
| <math>(b\ne0)\quad\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math>
| <math>\left(\frac63\right)^2=\frac{6^2}{3^2}=\frac{36}{9}=4</math>
|-
| <math>a^0=1</math>
| <math>10^0=1</math>
|-
| <math>a^{-b}=\frac{1}{a^b}</math>
| <math>2^{-1}=\frac12</math>
|}

{{תוכן|
|הפרק הקודם=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי פעולות החשבון|חוקי פעולות החשבון]]
|הפרק הנוכחי=חוקי חשבון חזקות
|תרגילים=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות/תרגילים|תרגילים]]
|הפרק הבא=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/שורשים|שורשים]]
}}

[[קטגוריה:אלגברה תיכונית]]