הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/חוקי הלוגריתמים"

===חוקי הלוגריתמים===
נזכור תמיד כי לכל לוגריתמים יש תחום ההגדרה כפי שהוצג בפרק הראשון. 
{| class="wikitable" border="1"
|-
! החוק
! הנוסחה
! דוגמה
!הוכחת החוק
|-
|הגדרת הלוגריתם
|<center><math>a^b=x \Leftrightarrow\log_a(x)=b</math></center>
|
|
|-
|מעבר בסיסים
|במידה ונרצה לחשב לוגריתם בבסיס אחר (ראה הערות), לכל <math>(c>0)a, c\ne1</math> מתקיים:
<center><math>\log_a(b)=\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}</math></center>
|
|<center><math>\begin{matrix}(1)&a^b=x\\(2)&\log_a(x)=b\end{matrix}</math></center>
עכשיו נוציא משני האגפים של (2) לוגריתם בבסיס <math>c</math> :
<center>
<math>\begin{matrix}\log_c(a^b)=\log_c(x)\\\\b\cdot\log_c(a)=\log_c(x)\\\\\log_a(x)\cdot\log_c(a)=\log_c(x)\\\\\log_a(x)=\dfrac{\log_c(x)}{\log_c(a)}\end{matrix}</math>
</center>

|-
|הרחבת הגדרת הלוגריתם
|<center><math>a^{\log_a(x)}=x</math></center>

|
|<center><math>\begin{matrix}(1)&a^b=x\\(2)&\log_a(x)=b\end{matrix}</math></center>
:נציב את (2) ב-(1) ונקבל:
<center><math>a^{\log_a(x)}=x</math></center>

|-
| לוגריתם של מכפלת שני מספרים
| <center><math>\log_a(x\cdot y)=\log_a(x)+\log_a(y)</math></center>
|
|<center><math>\begin{matrix}(1)&a^b=x\quad,\quad a^c=y\\(2)&\log_a(x)=b\quad,\quad\log_a(y)=c\end{matrix}</math></center>

בנוסף, נכפיל את המשוואות הרשומות ב-(1) אחת בשניה, ונפתח את הביטוי בעזרת חוקי החזקות והלוגריתמים:
<center><math>\begin{matrix}a^b\cdot a^c=x\cdot y\\a^{b+c}=x\cdot y\\\log_a(x\cdot y)=b+c\\\\\log_a(x\cdot y)=\log_a(x)+\log_a(y)\end{matrix}</math></center>
|-
|לוגריתם של מנת שני מספרים
| <center><math>\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)</math></center>
| 
| <center><math>\begin{matrix}(1)&a^b=x\quad,\quad a^c=y\\(2)&\log_a(x)=b\quad,\quad\log_a(y)=c\end{matrix}</math></center>
בנוסף, נחלק את המשוואות הרשומות ב-(1) אחת בשניה, ונפתח את הביטוי בעזרת חוקי החזקות והלוגריתמים:
<center>
<math>\begin{matrix}\dfrac{a^b}{a^c}=\dfrac{x}{y}\\a^{b-c}=\dfrac{x}{y}\\\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)=b-c\\\\\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)\end{matrix}</math>
</center>
|-
|לוגריתם של חזקה
|<center><math>\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)</math></center>
(לא להתבלבל עם חזקה על הלוגריתם כולו <math>log_a^2 x=(log_ax)^2</math>)

* בהתאם לחוקי חזקות <math>{\displaystyle {({\sqrt[{n}]{a}})}^{n}={a}^{\frac {n}{n}}=a}</math> נוכל לטעון כי <math>log_a(\sqrt[n]{x})=\frac{1}{n}log_ax</math>
|
|<center><math>\begin{matrix}(1)&a^b=x\\(2)&\log_a(x)=b\end{matrix}</math></center>
בנוסף, נעלה את שני אגפי משוואה (1) בחזקת <math>n</math> . נקבל:
<center><math>\begin{matrix}(a^b)^n=x^n\\a^{bn}=x^n\\\log_a(x^n)=bn\\\\\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)\end{matrix}</math></center>
|-
|לוגריתם של חזקה - לא לבגרות
|

# בהתאם לחוקי חזקות <math> {\displaystyle \ {\log _{a}b}\cdot {\log _{c}d}={\log _{c}b}\cdot {\log _{a}d}}</math> מפני שלאחר הוצאת הלוגריתמים מתקבל אותה תוצאה, <math>c^{\log _{c}(ab)}=ab \Leftrightarrow c^{\log _{c}a+\log _{c}b}=c^{\log _{c}a}c^{\log _{c}b}=ab </math>
#<math>\log_{b^n}(x)=\frac{log x}{log {a^n}}=\frac{1}{n}\log_a(x)</math>
#*<math>\log_{a^n}(b)=\frac{\log_a(b)}{n}</math>
#מתוך נוסחת המעבר וחוק כפל לוגריתמים : <math>\log_a(b)=\frac{\log_b(b)}{\log_b(a)}=\frac{1}{\log_b(a)}</math>
|
|
|-
|מספר קבוע
|<math>\log_a(1)=0</math> (<math> a\ne1</math> ו-<math>a>0</math>)
|
|
|-
|מספר קבוע
|<math>log_a(a)=1</math>  (<math> a\ne1</math> ו-<math>a>0</math>)
|
|
|}
::על הבסיס המיוחד <math>e</math> לומדים יותר בפירוט בזמן לימודי החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
::כאשר יש לפנינו לוגריתם ללא בסיס לדוגמה, <math>log9</math> הכוונה ללוגריתם שבסיסו <math>10</math> כלומר <math>log_{10}9</math> 
===שימוש במחשבון===
#כיום יש מחשבונים מתקדמים בהם ניתן לחשב בסיס ש'''אינו 10''' אך למי שאין ניתן להעזר בנוסחת המעבר בכדי לחשב בסיס שונה מ-10. לדוגמא: <center><math>\log_4(7)=\frac{\log_{10}(7)}{\log_{10}(4)}=\frac{\log(7)}{\log(4)}\approx\frac{0.845}{0.602}\approx1.40</math></center>
#במחשבון קיים בסיס מובנה נוסף ללוגריתמים: <math>e</math> . הסימון המתמטי ללוגריתם בבסיס זה הוא <math>\log_e(x)=\ln(x)</math> (יש לבטא "לַאן"). לכן את אותו החישוב יכולנו לעשות באמצעות הפונקציה <math>\ln</math> :
<center><math>\log_4(7)=\frac{\log_e(7)}{\log_e(4)}=\frac{\ln(7)}{\ln(4)}\approx\frac{1.94}{1.38}\approx1.40</math></center>


[[קטגוריה:אלגברה תיכונית - מעריכים ולוגריתמים]]