הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/המעגל/משוואת המיתר שבין שתי נקודות השקה"

[[קובץ:Segmentos-tangentes-teorema-pitot.png|ממוזער]]

'''משוואת המיתר בין שתי נקודות השקה :''' אם מנקודה <math>P(x_0, y_0)</math> נמצאת מחוץ למעגל <math>(x-a)^2+(y-b)^2=r^2</math> יוצאים שני משיקים למעגל, אזהי משוואת המיתר המחבר בין נקודות ההשקה <math>(AB)</math> הוא <math>(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2</math>.
<br /><br />
'''הפרמטרים שלנו:''' נקודה חיצונית, משוואת המעגל, משוואת המיתר ו(נקודות החיתוך של המיתר עם המעגל). {{דוגמה|
מספר=1|
שם= מציאת משוואת המיתר|
תוכן= מהנקודה <math>(6, 2)</math> הנמצאת מחוץ למעגל <math>x^2+y^2=13</math> יוצאים שני משיקים למעגל. מצא את משוואת המיתר המחבר את נקודות ההשקה.

נציב בנוסחה של משוואת המיתר שבין שתי נקודות השקה את ערכי הנקודה החיצונית <math>(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2</math> ונקבל <math>6*x+2*y=13</math>.
}}

כשאר נתון לנו משוואת המיתר והמעגל ועלינו למצוא את נקודת המפגש החיצונית, נשווה בין משוואה המיתר הנתונה למשוואת המיתר לאחר הצבת <math>P(x_0, y_0)</math> באמצעות הרדיוסים. {{דוגמה|
מספר=2|
שם=מציאת הנקודה החיצוני|
תוכן={{:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 102 סעיף 25}}}}

===הוכחה===
בכדי לפשט את ההוכחה נדגים על מעגל קנוני שמשוואתו <math>x^2+y^2=r^2</math> ונקודות ההשקה של שתי הישרים היוצאים מנקודה <math>P (x_0, y_0)</math> יהיה <math>(x_1, y_1)</math> וכן <math>(x_2, y_2)</math>.

'''[[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/המעגל/משוואת המשיק למעגל בנקודה שעליו - מעגל קנוני|משוואת המשיקים]]''' היא  <math>x*x_1+y*y_1=r^2</math> וכן <math>x*x_2+y*y_2=r^2</math>.

נציב בשתי המשוואות של המשיקים את הנקודה <math>P (x_0, y_0)</math>  דרכה עוברים שני הישירים ונחתכים: <math>x_0*x_1+y_0*y_1=r^2</math> וכן <math>x_0*x_2+y_0*y_2=r^2</math>.

נחסיר את המשוואה הראשונה מהשניה נקבל <math>x_0(x_2-x_1)+y_0(y_2-y_1)=0</math> 

נעביר את ה-<math>x</math> לאגף השני ונקבל  <math>y_0(y_2-y_1)=-x_0(x_2-x_1)</math> נחלק ב- <math>y_0</math> וכן גם  <math>(x_2-x_1)</math> ונקבל  <math>\frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x_1)}=\frac{-x_0}{y_0}</math> 

הביטוי השמאלי במשוואה הוא למעשה משוואת השיפוע (<math>m=\frac{y_1-y_2}{x_1-y_2}</math>) עבור שיפוע המיתר. במילים אחרות שיפוע המיתר הינו <math>\frac{-x_0}{y_0}</math>.

נמצא את משוואת המיתר: <math>y-y_1=\frac{-x_0}{y_0}(x-x_1)</math> 

נפטר מהמכנה ונקבל: <math>y*y_0-y_1*y_0=-x_0(x-x_1)</math>

נפתח את המשוואה <math>y*y_0-y_1*y_0=-x_0*x+x_0*x_1</math>

נסדר את המשוואה בהתאם למשוואת המעגל הכללית: <math>x_0x+yy_0=x_0*x_1+y_1*y_0</math>

אם נציב את הנקודה <math>(x_1, y_1)</math> במשוואת המעגל בה עוברת, נקבל <math>x_1^2+y_1^2=r^2</math> ולכן ניתן להחליף במשוואה לעיל את האגף השמאלי בתוצאה המתקבלת ממשוואת המעגל. במילים אחרות <math>x_0x+yy_0=r^2</math>.

'''משוואת המיתר במעגל קנוני''' <math>x^2+y^2=r^2</math> הינה <math>x_0x+yy_0=r^2</math>.

באופן דומה ניתן להוכיח עבור מעגל שאינו קנוני.

[[קטגוריה:הנדסה אנליטית לתיכון]]