הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/הנקודה/מרחק בין שתי נקודות"

{{עריכה}}
==המרחק בין שתי נקודות==

בפרק זה של הנדסה אנליטית נמצא כיצד לגלות את המרחק בין שתי נקודות, כלומר האורך של הקטע שהן יוצרות.

==הנוסחה==

נוסחה המייצגת מרחק בין 2 הנקודות <math>\  (x_1,y_1)</math> ו<math>\  (x_2,y_2)</math> 
היא: <math>d = \sqrt{{(x_1 - x_2)}^2 + {(y_1 - y_2)}^2}</math> . זכרו - כאשר מעלים את המשוואה בריבוע, יש להציב את הפתרונות המתקבלים במשוואה המקורית ולבדוק האם מתקבל פסוק אמת!

=== הדגמה ===
<math>A( 5,12 )</math><br>
<math>B( 8,2  )</math><br>
<math>d_{ AB } = \sqrt{ (5-8)^2 + (12-2)^2 }</math><br>
<math>d_{ AB } = \sqrt{ (-3)^2 + (10)^2 }</math><br>
<math>d_{ AB } = \sqrt{ 9 + 100 } = \sqrt{ 109 }</math><br>
כך ניתן לראות שהמרחק בין נקודה <math>A</math> לנקודה <math>B</math> הנו <math>\sqrt{109} \approx 10.44</math>.

==הוכחת הנוסחה==

נשרטט באופן כללי שתי נקודות, ונשלים מהן משולש ישר זוית, כפי שמתואר בשרטוט:


[[תמונה:distance.png|350px|center]]


הנקודות שיוצרות את הישר בשרטוט הן <math>\  (x_1,y_1)</math> ו<math>\  (x_2,y_2)</math>.

נשלים אותן למשולש ישר זוית, שניצביו מקבילים לצירים.
את הניצב המקביל לציר הY ניתן לכנות כ<math>\  y_2 - y_1</math>, משום שאם ניקח את ערך Y<sub>2</sub> נקבל את הגובה מציר הX לנקודה, וכשא נוריד ממנה את המרחק מציר הX לY<sub>1</sub> נקבל את הניצב המקביל לציר הY. באופן דומה נעשה גם עם ציר הX, ונקבל שהניצב המקביל לציר הX הוא <math>\  x_2 - x_1</math> .

לפי משפט פיתגורס, סכום שני הניצבים במשולש שווה לסכום היתר בריבוע.
לפיכך נבנה לנו משוואה, כשהיתר תסומן בd, כלומר המרחק אותו נרצה למדוד:

<math>\  d^2 = {(y_2 - y_1)}^2 + {(x_2 - x_1)}^2</math>

כאשר נוציא שורש נקבל:

<math>d = \sqrt{{(y_2 - y_1)}^2 + {(x_2 - x_1)}^2}</math>

וזוהי בעצם הנוסחה.

דרך נוספת לפעילותה של נוסחת המרחק היא -חיסור ערכי הנקודות -
ברגע שאנו מחסרים את ערכי X ואת ערכי Y בהתאמה, ומתייחסים לערך המוחלט, אנו מקבלים נקודה על הגרף, שמציינת ראדיוס ווקטור - שבעצם מרחקה של הנקודה מראשית הצירים - שווה למרחק 2 הנקודות שאנו בודקים את המרחק בינהן.
ולאחר מכן, שורש של חיבור ערכם המוחלט בריבוע - יתן את המרחק (חישוב מרחק וקטורי בעל 2 קוארדינטות).

[[קטגוריה : הנדסה אנליטית]]