הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקציה מעריכית"

{| class="wikitable"
!פונקצית מעריכית
|-
|

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2"
|-
! תבנית וצורה
|colspan="4"|
[[קובץ:Exp funcs.png|פרבולה|ממוזער]]
<math>y=a^x</math>

פונקציה מונוטומית (פונקציה עולה או יורדת לערכיה) כאשר <math>a</math> חיובי:
* ככל ש-<math>a</math> קטן יותר וגדול מאחד הפונקציה קעורה יותר.
* כאשר <math>a</math> גדול מאפס וקטן מאחד הפונקציה יורדת
|-
!
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ותנאים מקדמים
|colspan="4"|
מוגדל לכל <math>x</math> ו-<math>\ a>0</math>.  
|-
!rowspan="3"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות חיתוך עם הצירים|חיתוך עם הצירים]]
|rowspan="2"|חיתוך עם ציר <math>x</math>
|-
| אינה נחתכת עם הציר מפני שאין איבר בחזקה השווה לאפס. 
|-
!חיתוך עם ציר <math>y</math>
|colspan="2"| 
תמיד בנקודה <math>(0, 1)</math> מאחר ש-<math>y=a^0=1</math>.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]
|colspan="2"| 
על פי הכלל <math>\ f'(x)=a^x \cdot \ln(a)</math>. מאחר שסימן הנגזרת תלוי רק ב-<math>a</math> אך לא ב-<math>x</math>, מתקיים שהפונקציה תמיד עולה (אם <math>\ a>1</math>) או שהיא תמיד יורדת (אם <math>\ 0<a<1</math>). כלומר אין נקודות קיצון. גם במקרה בו <math>\ a=1</math>, הנגזרת לעולם מתאפסת (הראינו לעיל), לפונקציה אין נקודות קיצון. בנקודות קיצון סטנדרטיות מתקיים <math>\ f'(x)=0</math> וגם <math>\ f''(x)\ne0</math>, מה שלא מתקיים במקרה שלפנינו. נוסחת הנגזרת תשמש אותנו ב[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקצית מעריכית מורכבת (שאינה e)|פונקציה מעריכית מורכבת]]
|-
!rowspan="2"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]
|colspan="1"| מציאת נקודות פיתול באמצעות טבלה
| גזירה שנייה תניב <math>\ f''(x)=a^x \cdot (\ln(a))^2</math>, וביטוי זה הוא לעולם חיובי. לכן לפונקציה גם '''לא קיימות נקודות פיתול'''.<br />
|-
|מציאת נקודות פיתול באמצעות נגזרת שנייה
|
|-
!rowspan="3"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות|אסימפטוטות]]
|-
!rowspan="1"|אסימפטוטה אנכית לציר <math>x</math>
|
אין אסימפטוטה מכיוון שפונקציה מעריכית אינה יכולה להתאפס : <math>a^x\ne0</math> (וערכי גדולים מאפס). 
|-
!rowspan="1"|אסימפטוטה אופקית
|colspan="1"| 
# נבדוק עבור <math>x \rightarrow \infty </math> באמצעות הצבה: <math>y= a^{\infty} </math>. על פי הכללים, כאשר <math>x</math> שואף לאינסוף אין אסימפטוטה (בכדי שישר <math>y=b</math> יקרא אסימפטוטה לפונקציה <math>f(x)</math> אם ערך של <math>f(x)</math> שואף לערך ה-<math>b</math> כאשר <math>x \rightarrow \infty </math>). 
# נבדוק עבור <math>x \rightarrow -\infty </math> באמצעות הצבה: <math>y= a^{-\infty}=\frac{1}{a^\infty}=0 </math> כלומר קיימת אסימפטוטה רק מצדו האחד של הגרף.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עליה וירידה|תחומי עליה וירידה]]
|colspan="2"|
ניתן לחלק את הפונקציות המעריכיות לשלושה סוגים עיקריים של פונקציות:
# כאשר <math>\ a=1</math> הפונקציה המעריכית היא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה קבועה]] <math>\ y=1</math>.
# כאשר <math>\ a\ne1</math>:
#* אם <math>\ a>1</math> זוהי פונקציה עולה.
#* אם <math>\ 0<a<1</math> זוהי פונקציה יורדת.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום שלילי וחיובי|תחום שלילי וחיובי]]
|colspan="2"| 
|}

[[קטגוריה : חשבון דיפרנציאלי לתיכון]]