הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקצית מעריכית מורכבת (שאינה e)"

{| class="wikitable"
!פונקצית אקספוננט מורכבת
|-
|
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2"
|-
! תבנית
|colspan="4"|
<math>y=g(f)^{f(x)}</math> לדוגמה <math>y=5^{2x}+4^x+2</math>
|-
!
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ותנאים מקדמים
|colspan="4"|
פונקציה מעריכית מוגדרת לכל <math>x</math> עם זאת מאחר והיא מורכבת יש לבחון את תחומי ההגדרה לסוגים השונים של הפונקציות בהתאם. 
# [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה רציונלית|פונקציה רציונלית]] נבדוק מתי המכנה גדול מאפס. 
# אם היא חלק מפונקצית [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית השורש|שורש]], נבדוק מתי הבסיס שבשורש גדול מאפס וכן הלאה. 
:כמו גם, מאחר שפונקציה מערכית מחייבת <math>a^x>0</math>, אנו תמיד נבחן מתי הבסיס של החזקה גדול מאפס.
לאחר מכן נפתור תרגיל של[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואה מעריכית|משוואה מעריכית]].נזכיר את הכללים לבסיס משתנה :
# כאשר <math>{a^{f(x)} > a^{g(x)} \xrightarrow{a > 1} f(x)>g(x)}</math>
# כאשר <math>{a^{f(x)} > a^{g(x)} \xrightarrow{0 < a <1} f(x)<g(x)}</math>
{{דוגמה|
מספר=1|
שם=תחום הגדרה למכנה <math>y=\sqrt{2^{x^2}-\frac{1}{4}^x}</math>|
תוכן=
הבסיס של השורש חייב להיות גדול מאפס (ובכלל, גם בלי השורש הבסיס צריך להיות גדול מאפס) לכן, <math>\sqrt{2^{x^2}-\frac{1}{4}^x} \ge 0</math>. 

נמצא בסיס משותף (2), <math>\sqrt{2^{x^2}-\frac{1}{2}^{2x}} \ge 0</math>

נבטל את המכנה באמצעות העלאה, <math>\sqrt{2^{x^2}-2^{-2x}} \ge 0</math>

נבטל שורש, <math>2^{x^2}-2^{-2x} \ge 0</math>

נעביר אגפים, <math>2^{x^2} \ge 2^{-2x}</math>

נשווה מעריכים, <math>x^2 \ge -2x</math>

הפתרונות  <math>x \ne -2 ; x \ne 0</math>
}}
|-
!rowspan="3"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות חיתוך עם הצירים|חיתוך עם הצירים]]
!rowspan="2"|חיתוך עם ציר <math>x</math>
|-
| 
# נציב <math>y=0</math> 
# נפתור משוואה מעריכית.
|-
!חיתוך עם ציר <math>y</math>
|colspan="2"| 
# נציב <math>x=0</math> 
# נפתור משוואה מעריכית 
|-
!חיתוך עם פונקציה
|colspan="2"|הנעלם a, יכול להיות בסיס קבוע (כדוגמא 2,3,4) או בסיס משתנה. בכל מקרה, דרך הפתרון תיהיה באמצעות : [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים|משוואה מעריכית]]. לדוגמה, {{להשלים}}
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]
|colspan="2"| 
# מציאת נגזרת על פי הכלל  <math>\left(a^{g(x)}\right)'=a^{g(x)}\cdot g(x)'\cdot \ln(a)</math>. 
# מציאת ערכי ה-<math>x</math> של הנקודה על ידי השוואת הנגזרת לאפס.
# מציאת ערכי ה-<math>y</math> של הנקודה על ידי הצבת ערך ה-<math>x</math> המתקבל במשוואת הפונקציה.
# בעת קביעת סוג נקודת הקיצון עדיף להיעזר בנגזרת שנייה על פני טבלה. נזכור <math>a^x</math> תמיד חיובי ולכן אין צורך לגזור אותו בנגזרת שנייה. כמו גם אם מדובר בפונקצית שורש, המונה תמיד חיובי ולכן ניתן להתעלם ממנו. ראו דוגמה [[מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 804 תרגיל 45#סעיף 1|כאן]].
|-
!rowspan="2"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]
|colspan="1"| מציאת נקודות פיתול באמצעות טבלה
|
|-
|מציאת נקודות פיתול באמצעות נגזרת שנייה
|
# נגזור את הפונקציה נגזרת ראשונה.
# נגזור את הפונקציה נגזרת שנייה. נזכר שוב כי המונה בפונקצית שורש תמיד חיובי בנגזרת שנייה וכל שהביטוי <math>a^x</math> תמיד חיובי לכן ניתן להתייחס אליהם כאילו לא היו קיימים מנגזרת שנייה והלאה.
# מציאת ערכי ה-<math>x</math> של נקודת הפיתול - נשווה את הנגזרת השנייה לאפס.
# נאשרר כי מדובר בנקודת פיתול על ידי גזירת הפונקציה נגזרת שלישית ונוכיח כי הנגזרת המתקבלת שונה מאפס (כלומר אינה מאפסת את הנגזרת)
# מציאת ערכי ה-<math>y</math> של הנקודה על ידי הצבת ערך ה-<math>x</math> המתקבל במשוואת הפונקציה.
# קביעת סוג הנקודה יתבצע באמצעות פתרון של [[אי שיוויון מערכי]] (או טבלה) - נבדוק מתי נגזרת שנייה של הפונקציה גדולה מאפס. 
|-
!rowspan="3"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות|אסימפטוטות]]
|-
!rowspan="1"|אסימפטוטה אנכית לציר <math>x</math>
|
# נשווה את המכנה לאפס ונפתור [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות מעריכיות|משוואה מעריכית]].
# אם יש לנו ערך המאפס את המכנה נבנה טבלה (או לחילופין נוודא כי התוצאה אינה מאפסת את המונה) ונבחן האם מדובר בחור או באסימפטוטה. 
# בטבלה יהיו שבעה ערכים כשהמרכזי הוא ערך הנקודה החשודה. 
# יש להציב שישה ערכי <math>x</math> קרובים לתוצאה אותה קיבלנו לפני ואחרי הנקודה. 
# לחשב את ערך ה-<math>y</math> של ה-<math>x</math> באמצעות הצבה בטבלה.
# לבחון את התנהגות הפונקציה:
#* אם ערך ה-<math>y</math> גדל ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר באסימפטוטה.
#* אם ערך ה-<math>y</math> קטן (כלומר מתכנס לנקודה) ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר בחור.
|-
!rowspan="1"|אסימפטוטה אופקית
|colspan="1"| 
פתרון אפשרי באמצעות הדרך הארוכה והקצרה אולם יש לבדוק עבור כל ערך בנפרד. 
# נבדוק את ערכי הפונקציה עבור  <math>lim_{x \rightarrow \infty}</math> 
#* נחלק את הפונקציה בנעלם עם החזקה הגדולה. 
#* נציב <math>lim_{x \rightarrow \infty}</math>. פעמים רבות נוכל להציב מידית <math>lim_{x \rightarrow \infty}</math> וכן ניתן לדלג על הסעיף הקודם. נזכור שכאשר <math>a^\infin</math> אין אסימפטוטה.  
#נבדוק עבור התחום <math>lim_{x \rightarrow -\infty}</math> נשם לב כי <math>a^-\infin</math> נקבל <math>\frac{1}{a^\infty}</math> דהינו <math>y=0</math> ולכן פעמים רבות נוכל להציב ב-<math>x</math> את מינוס אינסוף, ללא צורך לחלק בחזקה הגדולה ביותר. 
#*.נשם לב לקצב גידול ומהירות שאיפה: הפונקציה המעריכית גדלה מהר מאוד, הרבה יותר מהר מפונקציות <math>\ x^2, x^3, x^4</math> וכו'. לכן פונקציה כמו <math>\ \frac{x^{10}}{e^x}</math> (קטן חלק גדול) שואפת לאפס כשאשא <math>\ x</math> שואף לאינסוף.
#* במידה ומתקשים ניתן להציב <math>a^x=t</math> ולבחון תחילה את התנהגות ה-<math>t</math> ורק לאחר מכן להציב את הגבול. לדוגמה [[מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 823 סעיף 23|לחץ כאן]]
# נבדוק כי האסימפטוטות אינן נחתכות עם הפונקציה על ידי הצבה ערכיהן בפונקציה.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עליה וירידה|תחומי עליה וירידה]]
|colspan="2"|
# נמצא את תחום ההגדרה.
# במידה ומצאנו את נקודות הקיצון של הפונקציה ובדקנו את סוגן, נוכל להעזר בגרף על מנת לדעת את תחומי העלייה וירידה. 
# במידה ולא מצאנו את נקודות הקיצון של הפונקציה נפתור את המשוואה <math>y'(x)>0</math> בכדי למצוא תחומי עלייה, ו-<math>y'(x)<0</math>. 
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום שלילי וחיובי|תחום שלילי וחיובי]]
|colspan="2"| 
|}

[[קטגוריה : חשבון דיפרנציאלי לתיכון]]