הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקצית e/הגדרת המספר e"

בפרק ה[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקציה מעריכית|קודם]] הראינו כיצד פונקציות מערכיות מהצורה <math>y=a^x</math> נחתכות עם ציר <math>y</math> בנקודה <math>(0,1)</math> כאשר <math>a^0=1</math> .

[[קובץ:2^x function graph.PNG|שמאל|ממוזער|300px|כאשר מעבירים משיק לפונקציה <math>y=2^x</math> בנקודת החיתוך עם ציר 
<math>y</math> , שהיא <math>(0,1)</math> , הזוית המתקבלת בין [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/הזוית בין שני ישרים|שני ישרים נחתכים]], כלומר בין ציר <math>x</math> (ששיפועו 0) לשיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה <math>(0,1)</math> <math>y'(0)=2^x\ln(2)=2^0\ln(2)=\ln(2)</math> היא לאחר הוצאת טאנגנס <math>\tan(\alpha)=\frac{|\ln(2)-0|}{1+\ln(2)}=\ln(2)</math> שווה <math>34.727^\circ=~35^\circ</math>]]

[[קובץ:PictureFileName.jpg|שמאל|ממוזער|300px|כאשר מעבירים משיק לפונקציה <math>y=3^x</math> בנקודת החיתוך עם ציר <math>y</math>, שהיא <math>(0,1)</math> , הזוית המתקבלת בין [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/הזוית בין שני ישרים|שני ישרים נחתכים]], כלומר בין ציר <math>x</math> (ששיפועו 0) לשיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה <math>(0,1)</math> <math>y'(0)=3^x\ln(3)=3^0\ln(3)=\ln(3)</math> , לאחר הוצאת טאנגנס <math>\tan(\alpha)=\frac{|\ln(3)-0|}{1+0\ln(3)}=\ln(3)</math> שווה <math>47.69^\circ = ~ 48^\circ</math>]]

במילים אחרות, בין הפונקציה <math>2^x</math> ל- <math>3^x</math> קיימת פונקציה המייצרת עם ציר <math>x</math> זוית <math>45^\circ</math> . ערך הבסיס לפונקציה כזו הנו <math>2.718\ldots</math> אותו סימנו בנעלם <math>e</math> .

===חישוב המספר===
הפעם נציג כיצד בפועל גילו את ערך הנקודה. הרי הנתונים שהיו להם הם משיק העובר דרך גרף הפונקציה <math>a^x</math> בנקודה <math>(0,1)</math> וזוית בגודל <math>45^\circ</math> .

נגזור את הפונקציה ונקבל:

<math>\left(e^x\right)'=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}</math>

כעת נגזור את הפונקציה בנקודה x=0 ונקבל:

<math>\lim_{h\to 0}\frac{e^{0+h}-e^0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}</math>

כלומר הנגזרת של הפונקציה שווה לעצמה כפול הנגזרת בנקודה 0, שהיא 1.

נגזור פעמיים את הפונקציה:

<math>\left(e^x\right)''=\left(1\cdot e^x\right)'=e^x</math>

<math>e^x>0</math> עבור כל x ולכן הפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל נקודה.

נעביר משיק בנקודה (0,1). ידוע לנו ששיפועו 1 והמספר החופשי שלו (החיתוך עם ציר הy) גם הוא 1. כלומר משוואת המשיק היא:<math>y=x+1</math>.

מכיוון שהפונקציה קעורה כלפי מעלה, הרי המשיק נמצא מתחת לפונקציה. נקבל:

<math>x+1<e^x</math> לכל x. נציב את הפרמטרים <math>x=\frac{1}{n}</math> ו- <math>x=-\frac{1}{n+1}</math>:

* <math>e^{\frac{1}{n}}>1+\frac{1}{n}\Rightarrow e>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
* <math>e^{-\frac{1}{n+1}}>1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\Rightarrow e<\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\Rightarrow e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math> (הפכנו את הסימן כי העלינו בחזקה שלילית)

משני האי-שוויונים נקבל:

<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\Rightarrow e=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>

אם נציב <math>n=1,000</math> נקבל <math>1.001^{1000}<e<1,001^{1001}\Rightarrow 2.7169239322...<e<2.7196408568...\Rightarrow e\approx2.71</math>

[[קטגוריה:חשבון דיפרנציאלי לתיכון]]