הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית השורש"

{| class="wikitable"
!פונקצית [[חשבון/שורש|שורש]] מורכבת
|-
|

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2"
|-
! תבנית
|colspan=4|
<math>y=\sqrt\frac{f(x)}{g(x)}</math>
<small>(הדוגמה המסובכת ביותר בבגרות לפונקצית שורש)</small>
|-
!
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ותנאים מקדמים
|colspan=4|
#<math>\sqrt{f(x)\ge0}</math>
#פונקצית שורש עם כללי גזירה: חשוב לוודא את תחום ההגדרה של כלל הפונקציות. לדוגמה כאשר הפונקציה היא <math>y=\sqrt\frac{f(x)}{g(x)}</math> , יש לבדוק <math>g(x)>0</math> .
|-
!rowspan=2| [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות חיתוך עם הצירים|חיתוך עם הצירים]]
! ציר <math>x</math>
| נציב <math>y=0</math> ונפתור (לפחות) [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שורשים|משוואה עם שורשים]].
|-
! ציר <math>y</math>
|colspan=2| 
#הצבה <math>x=0</math>
#פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים:
#*יש חיתוך - פתרון יחיד.
#*אין חיתוך - משוואה לא-הגיונית, כמו למשל <math>2=0</math>
|-
! [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]
|colspan=2| 
#גזירת הפונקציה על-פי [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/שורש ריבועי|נגזרת של פונקצית שורש]], כלל הגזירה של פונקציה המוכפלת במספר קבוע, כלל הגזירה מנה של פונקציות: <math>\sqrt{f(x)}'=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}</math>
#'''מציאת ערכי <math>x</math> של הנקודות -''' השוואה לאפס (<math>f'(x)=0</math>).
#'''מציאת ערכי <math>y</math> של הנקודות -''' את ערכי ה-<math>y</math> נמצא על-ידי הצבת ערכי <math>x</math> במשוואה הפונקציה המקורית.
|-
!rowspan=2| [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]
! מציאה באמצעות טבלה
|
השלבים למציאת נקודת פיתול זהים לשלבים של מציאת נקודת קיצון, כלומר:
#נבצע גזירה. נגזרת של פונקצית שורש: <math>\sqrt{f(x)}'=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}</math>
#נשווה נגזרת לאפס.
#נפתור את המשוואה.
#נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה - בניגוד ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת קיצון]] (שיש עליה וירידה או להפך), עבור נקודת פיתול, הפונקציה "תעלה ותעלה" או "תרד ותרד".
|-
! מציאה באמצעות נגזרת שניה
|{{להשלים}}
|-
!rowspan=3| [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות|אסימפטוטות]]
|-
! אנכית
|
אם יש לנו ערך המאפס את המכנה תמיד נבנה טבלה ונבחן האם מדובר בחור או באסימפטוטה:
#בטבלה יהיו שבעה ערכים כשהמרכזי הוא ערך הנקודה החשודה.
#יש להציב שישה ערכי <math>x</math> קרובים לתוצאה אותה קיבלנו לפני ואחרי הנקודה.
#לחשב את ערך <math>y</math> של <math>x</math> באמצעות הצבה בטבלה.
# לבחון את התנהגות הפונקציה:
#*אם ערך <math>y</math> גדל ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר באסימפטוטה.
#*אם ערך <math>y</math> קטן (כלומר מתכנס לנקודה) ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר בחור. פרט למצבים בהם הפונקציה אינה מוגדרת בצדו האחד של התום וגדלה בצדו השני (ר/ דוגמה שיחה שאלה 1) 
|-
! אופקית
|פתרון אפשרי באמצעות הדרך הקצרה והארוכה כאחד. נדגים את הדרך הארוכה באמצעות הפונקציה <math>y=2+\frac{4x}{\sqrt{x^2-9}}</math>
#נמצא את הערכים בהם <math>\sqrt{f(x)}>0</math> כלומר <math>x^2-9>0</math> באמצעות פתירת [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות ממעלה שניה|אי-שוויון ממעלה שניה]] (הפתרון <math>x<-3,x>3</math>)
# נחלק את הפונקציה בנעלם עם החזקה הגדולה <math>y=2+\dfrac{\dfrac{4x}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^2-9}}{x}}</math>
#נבדוק עבור התחום <math>x>3</math> (בהם ערכי <math>x</math> חיוביים כלומר נציב <math>\lim_{x\to\infty}</math>)
#*<math>\lim_{x\to\infty}\left[2+\frac{4x}{\sqrt{x^2-9}}\right]=\lim_{x\to\infty}\left[2+\dfrac{\dfrac{4x}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^2-9}}{x}}\right]=\lim_{x\to\infty}\left[2+\dfrac{4}{\sqrt{1-\dfrac{9}{x^2}}}\right]=2-\frac{4}{\sqrt{1-0}}=6</math>
#נבדוק עבור התחום <math>x<-3</math> (בהם ערכי <math>x</math> שליליים כלומר נציב <math>\lim_{x\to-\infty}</math>) 
#*נכניס את הנעלם לשורש, מאחר והוא שלילי עלינו להשאיר מינוס בחוץ
#*<math>\lim_{x\to-\infty}\left[2+\frac{4x}{\sqrt{x^2-9}}\right]=\lim_{x\to-\infty}\left[2+\dfrac{\dfrac{4x}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^2-9}}{x}}\right]=\lim_{x\to-\infty}\left[2-\dfrac{4}{\sqrt{1-\dfrac{9}{x^2}}}\right]=2-\frac{4}{\sqrt{1-0}}=-2</math>
#האסימפטוטות לפונקציה בתחום <math>x>3</math> היא <math>x=6</math> ועבור <math>x>-3</math>  היא <math>x=-2</math> 
#נבדוק כי האסימפטוטות אינן נחתכות עם הפונקציה על-ידי הצבת ערכיהן בפונקציה
|-
! [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עליה וירידה|תחומי עליה וירידה]]
|colspan=2|
נעזר בטבלה בה נציב:
*נקודות הקיצון החשודות על-פי סדר עולה ואת נקודות תחום ההגדרה.
*נוסיף מספרים לפני ואחריה הנקודות החשודות.
**נציב בנגזרת את המספרים הנבחרים. כאשר:
***ערכי הנגזרת <math>y'</math> חיוביים - הפונקציה עולה.
***ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת.
*נרשום מי הן מבין הנקודות הן נקודות מינימום, מקסימום, פיתול וכו'.
*נמצא תחומי עליה וירידה
|-
! [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום שלילי וחיובי|תחום שלילי וחיובי]]
|colspan=2| הפונקציה אינה יכולה לקבל ערכים שלילים בשל השורש (אלא אם יש חזקה).
|}

[[קטגוריה:חשבון דיפרנציאלי לתיכון]]