הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית חזקה"

{| class="wikitable"
!פונקציה חזקה בשילוב עם כללי גזירה [[פונקציה המוכפלת במספר קבוע]]  ו[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/נגזרת של מכפלה|מכפלת פונקציות]]
|-
|

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2"
|-
! 
תבנית
|colspan=4|
<math>y=ax^n</math> <small>(<math>n</math> הוא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|מספר טבעי]])</small>

<small><u>שימו לב!</u> אנו משלבים את כללי הגזירה ([[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/הכפלה בקבוע|פונקציה המוכפלת במספר קבוע]], [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/סכום של פונקציות|סכום של פונקציות]], [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/הפרש של פונקציות|הפרש של פונקציות]] ו[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/נגזרת של מכפלה|מכפלת פונקצית]]) עם חוקי הגזירה של פונקציות. ההנחה היא שפרט להבנה אין משמעות פרקטית לכללי הגזירה ותרגול הנושא הוא בזבוז זמן. לכן התבנית לעיל היא שילוב של כלל הגזירה פונקציה המוכפלת במספר קבוע עם נגזרת של פונקצית חזקה שבפועל מגלמת בתוכה את כלל הגזירה של מכפלת פונקצית. הרי ברוב הפעמים פונקציה חזקה היא למעשה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/נגזרת של מכפלה|מכפלה של פונקציות]]. לדוגמא, ניתן לגזור את הפונקציה <math>y=2x*x^2</math> על פי כלל הגזירה של מכפלת פונקציות <math>(f(x)*g(x))' = f('x)*g(x)+f(x)*g'(x)</math> כלומר <math>y'=2*x^2+2x*2x=2x^2+4x^2</math> ולהעזר בכלל של סכום פונקציות ולקבל <math>y'=6x^2</math>. לחילופין, על פי דרכנו ניתן פשוט לקצר את התהליך באמצעות כפילה וצמצום מראש כך שתראה בצורה <math> y=ax^n </math> דהינו נגזור את הפונקציה <math>y=3x^2</math> ונקבל <math>y'=6x
</math>. 
</small>
|-
!מקרים ספציפיים
|colspan="42"|
עד כה למדנו מקרים מיוחדים של פונקציית חזקה:
# [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית|פונקציה ריבועית]] : <math>y=x^2</math>
# [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה קבועה|פונקציה קבועה]] - פונקציה בחזקת אפס : <math>y=x^0</math>
# [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה ממעלה ראשונה]]
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה אי-זוגית|פונקציה אי-זוגית]]
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה זוגית|פונקציה זוגית]]

פונקציה חזקה פשוטה היא פונקציה המורכבת מאבר אחד בעל חזקה, לדוגמה <math>y=x^2, x^3, 2x^4</math>. 
|-
!
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ותנאים מקדמים
|colspan="4"|
'''מעריך גדולה מאפס ושלם (<math>n>0</math>) -''' על המעריך של החזקה להיות [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים|מספר טבעי]] (גדול ושלם מאפס). מבחינת החקירה אין אנו צריכים להגדיר את סוג הפונקציה אותה אנו חוקרים (כלומר אם זו פונקצית חזקה או פונקצית שורש) ולכן אין צורך לבצע סעיף זה. סוגי הפונקציות שעומדות לפנינו חשובות לנו רק עבור פעולת הנגזרת.

'''מעריך שלילי אינו פונקצית חזקה:''' כאשר <math>n>0</math> מדובר על פונקציה  [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה רציונלית|פונקציה רציונאלית]] (<math>y=x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}</math>) ולכן הגזירה שלו תתבצע על פי ה[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות|כלל]] : <math>a^{-1} = \frac{1}{a}\,</math>.
|-
!rowspan="3"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות חיתוך עם הצירים|חיתוך עם הצירים]]
|rowspan="2"|חיתוך עם ציר <math>x</math>
|-
|
נציב <math>y=0</math> ונפתור [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות כלליות בנעלם אחד|משוואה בנעלם אחד]]
|-
!חיתוך עם ציר <math>y</math>
|colspan="2"| 
# הצבה <math>x=0</math>.
# פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
#* חיתוך עם ציר <math>y</math> - פתרון יחיד.
#* אין חיתוך עם ציר <math>y</math> - משוואה לא הגיונית, כמו למשל <math>2=0</math>.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודות קיצון]]
|colspan="2"| 
# גזירת הפונקציה. נגזרת של פונקצית חזקה : <math>ax^n=nax^{n-1}</math>
# '''מציאת ערכי <math>x</math> של הנקודות -''' השוואה לאפס (<math>\ f'(x) = 0</math>).
# '''מציאת ערכי <math>y</math> של הנקודות-''' את ערכי ה-y נמצא על ידי הצבת ערכי ה<math>x</math> במשוואה הפונקציה המקורית.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]
|colspan="2"| 

השלבים למציאת נקודת פיתול זהים לשלבים של מציאת נקודת קיצון:
# נבצע גזירה על פי כללי [[גזירת פונקצית חזקה]] : <math>ax^n=nax^{n-1}</math>
# נשווה נגזרת לאפס.
# נפתור את המשוואה.
# נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה - בניגוד ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת קיצון]] (שיש עליה וירידה או להפך), עבור נקודת פיתול, הפונקציה "תעלה ותעלה" או "תרד ותרד".
|-
!rowspan="3"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות|אסימפטוטות]]
|-
!rowspan="1"|אסימפטוטה אנכית לציר <math>x</math>
|
# פישוט הפונקציה ככל הניתן (למניעת אפשרות ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות/אסימפטוטות המאונכות לציר X|חור]]). 
# בדיקת תחום הגדרה.
# אסימפטוטה אנכית היא כל אותן נקודות המופיעות בתחום ההגדרה.
|-
!rowspan="1"|אסימפטוטה אופקית
|colspan="1"|
# מציאת ערך ה-<math>x</math> הגדול ביותר בפונקציה.
# שלושת המצבים :
#* '''<math>y=0</math> (מתלכדת עם ציר ה-<math>x</math> בגרף)-''' כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס).
#* '''אין אסימפטוטה המקבילה לציר <math>x</math>-'''כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
#*''' אסיפטוטה <math>y</math> היא ערך מקדמי ה-<math>x</math> הגבוה -''' אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית. 
# רשימת הערכים בהם :
#* <math>\lim_{X \to \infty}</math>.
#* <math>\lim_{X \to -\infty}</math>.
# בדיקת נקודת חיתוך - הצבת הפתרונות <math>y</math> אסימפטוטת בפונקציה.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עליה וירידה|תחומי עליה וירידה]]
|colspan="2"|
{{להשלים}}
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום שלילי וחיובי|תחום שלילי וחיובי]]
|colspan="2"| 
{{להשלים}}
|}

[[קטגוריה : חשבון דיפרנציאלי לתיכון]]