הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/זהויות/שימוש בזהויות"

=הקדמה=
על אף שיש בידינו את [[מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/זהויות/רשימת זהויות|רשימת הזהויות]], רובנו נמצא עצמנו משותקים מול תרגילים עם זהויות, מסיבה פשוטה - אין בידינו כלי פשוט לפתרון שאלות בנושא זהויות, שאלות הוכחה. בדרך-כלל, אנו לומדים כלים באמצעות פתירת שאלות, אולם, מה קורה כאשר אנו נתקלים בתרגיל ולא יודעים לפתור אותו? לרוב, בשלב מסוים נכנעים ומדלגים את הנושא. לכן, בפרק זה נציג כלים שונים לפתירת תרגילי הוכחה שבבסיסם אינם קשים.

=הרכבת זהות=
עד כמה שזה "ברור", לא לכולם ברור (ואם ברור אז איך?) ולכן, נציג במפורש איך להציב פונקציה בזהות. [[מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/זהויות/רשימת זהויות|רשימת הזהויות]] מציגה בפנינו הצבה של פונקציה טריגונומטרית כאשר הזוית היא זוית <math>\alpha</math> (או נעלם אחר), מה קורה כאשר אנו רוצים להציב את הפונקציה <math>\sin(90^\circ-x)</math> ולא דווקא <math>\sin(x)</math> בזהות, למשל, <math>\sin(\alpha)=\sin(180^\circ-\alpha)</math> ? במקרים כאלה נתייחס אל הזוית הפנימית כאל נעלם יחיד, במילים אחרות (שמו לב לסימונים, <u>אלפא</u> זו הזוית ב<u>זהות</u>, <u>איקס</u> זהו <u>הזוית אותה אנו רוצים למצוא</u>): 

<math>\begin{align}
&\sin\underbrace{(90^\circ-x)}_{\alpha}\\
&\color{blue}\sin(\alpha)=\sin(180^\circ-\alpha)\\
&\sin(x)=\sin\bigl(180^\circ-\underbrace{(90^\circ-x)}_{\alpha}\bigr)\\
&\sin(x)=\sin(180^\circ-90^\circ+x)\\
&\sin(x)=\sin(90^\circ+x)\\\end{align}</math>

{{דוגמה|
מספר=1|
שם=הצבה בתוך זהות|
תוכן= מכאן שעבור הזהות: <math>\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)</math> (הצבה ב[[מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/זהויות/רשימת זהויות#סכום והפרש זויות|זהות סכום זויות/מחצית זוית]])

<math>
\begin{align}
&\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)\\
&\sin(4\alpha)=2\sin(2\alpha)\cdot\cos(2\alpha)\\
&\sin(6\alpha)=2\sin(3\alpha)\cdot\cos(3\alpha)\\
&\sin\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)=2\sin\left(\frac{\alpha}{4}\right)\cdot\cos\left(\frac{\alpha}{4}\right)\\
\end{align}</math>}}
{{דוגמה|
מספר=2|
שם=הצבה בתוך זהות|
תוכן=עבור הזהות: <math>\cos(2\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)</math>

<math>\begin{align}
&\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)\\
&\cos(4\alpha)=\cos^2(2\alpha)-\sin^2(2\alpha)\\
&\cos(6\alpha)=\cos^2(3\alpha)-\sin^2(3\alpha)\\
&\cos(\alpha)=\cos^2\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)-\sin^2\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)\\
\end{align}</math>
}}

=הוכחת זהויות=
תוכלו לראות שימוש נוסף בזהויות גם בחקירת [[מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/משוואות טריגונומטריות/פתיחת המשוואה|פונקציות טריגונומטריות]] וכן במשוואות טריגונומטריות. 

=פישוט=
כדי לפשט עלינו לשאול לאיזה מצב אנו רוצים להגיע? איזו זהות? 

תמיד נעדיף פישוט ופיתוח של צד אחד במשוואה (בכדי שנוכל לשאוף ולהגיע לצידו השני של המשוואה) מאשר פיתוח של שני צדי המשוואה או העברת אגפים.

===העברת אגפים וכינוס אברים===
{{להשלים}}
לעיתים, כאשר מדובר בערכים גבוהים, נעביר אגפים ורק לאחר מכן נפשט את צדו האחד של המשוואה.

===הצבה===
לעיתים כאשר מדובר בערבוב של פונקציות <math>sin, tan, cos</math> נציב ונפתח את שתי המשוואות. {{דוגמה|
מספר=1|
שם=הצבת זהות בהוכחה|
תוכן=<math>
\begin{align}
&1-\frac{sin^2\alpha}{tan^2\alpha}=cos^2\alpha*tan^2\alpha\\
&&tan^2=\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}\\
&1-\frac{sin^2\alpha}{\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}=cos^2\alpha*\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}\\
&1-cos^2\alpha=sin^2\alpha\\
&&cos^2\alpha=1-sin^2\alpha\\
&sin^2\alpha=sin^2\alpha
\end{align}</math>}}

===הכפלת אגפים===
ניתן להכפיל ולצמצם אגפים בעת הוכחת זהות ('''רק''' כאשר הביטוי '''שונה מאפס'''). {{דוגמה|
מספר=1|
שם=הכפלת אגפים|
תוכן=
<math>
\begin{align}
&\frac{cos\alpha}{1-sin\alpha}=\frac{1+sin\alpha}{cos\alpha}\\
&\frac{cos\alpha}{1-sin\alpha}/*cos\alpha\\
&\frac{cos\alpha * cos\alpha}{1-sin\alpha * cos\alpha}\\
&& cos^2\alpha=1-sin^2\\
&\frac{1-sin^2\alpha}{cos\alpha(1-sin\alpha}
&\frac{cos\alpha}{1-sin\alpha}=\frac{1+sin\alpha}{cos\alpha}
\end{align}</math>}}

===כפל מקוצר===
{{דוגמה|
מספר=1|
שם=כפל מקוצר|
תוכן=
<math>
\begin{align}
&sin^4\alpha-cos^4\alpha=sin^2\alpha-cos^2\alpha\\
&&a^2-b^2=(a+b)(a-b)\\
&(sin^2\alpha-cos^2\alpha)(sin^2\alpha+cos^2\alpha)\\
&&sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\
\end{align}</math>}}

===מכנה משותף===
{{דוגמה|
מספר=1|
שם=הכפלת אגפים|
תוכן=

}}
===איזה זהות מתאימה===
# כאשר אנו רואים בזהות מכנה נעזר או בזהויות עם מכנים או בהכפלת האגף. 
# נעדיף להשתמש בזהויות עם אותו גודל זווית. לדוגמה, אם יש לנו <math>\sin(2x)+\sin(4x)</math> נעביר את כל הפונקציות במשוואה לאחד מהסוגים הבאים (בהתאם לפונקציה האפשרית: <math>\sin(2x),\sin(4x),\sin(x)</math>)
*אותו מספר חזקה - פרט למקרים בהם אפשר להוציא גורם משותף וכדומה.
#מקרים בהם צריך למצוא את ערכה של זהות באמצעותה של זהות אחרת נעזר בזהויות : 
#*זהות <math>\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1</math>, למשל, מציאת ערך הפונקציה <math>\cos</math> כאשר <math>\sin(\alpha)=\frac35</math>. 
#*זהות מעבר, בדרך כלל כאשר בתרגיל יש שתי פונקציות שונות, בחזקות שונות., למשל, <math>\sin^2(x)+\sin(x)\cdot\cos(x)-2\cos^2(x)</math>

[[קטגוריה:טריגונומטריה לתיכון]]