הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ג/035303/תרגיל 3"

<div id="custom1TabsWait" style="font-size: small; color: green;">טוען את הטאבים...</div> 
<div id="custom1Tabs" style="display: none;"> 
<div id="custom1Tab1" title="עברית">
{|width="100%" align="center" border="2" cellpadding="8"
|-
!תרגיל
|
סדרה מוגדרת על ידי כלל נסיגה :
<math>
\begin{align}
\begin{cases}
a_1=11\\
a_{n+1}=a_n+2n+11
\end{cases}\\
\end{align}
</math><br />

הוכחה באינדוציה, או בכל דרך אחרת, כי כל איבר בסדרה הנמצא במקום זוגי מתחלק ב-8.
|-
!נושאים
| [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/מציאת הנוסחה הכללית של הסדרה|מציאת הנוסחה הכללית של הסדרה]]
|-
|מקור
|[http://meyda.education.gov.il/sheeloney_bagrut/2003/1/HEB/35306.PDF][http://meyda.education.gov.il/sheeloney_bagrut/2003/1/HEB/173.PDF]
|}

</div> 
	<div id="custom1TabDefault">1</div> 
<div id="custom1Tab2" title="ערבית">
{|width="100%" align="center" border="2" cellpadding="8"
|-
|
|}

</div>
<div id="custom1Tab3" title="רוסית">
{|width="100%" align="center" border="2" cellpadding="8"
|-
|

|}
</div>
	<div id="custom1TabWidth">90%</div> 
	<div id="custom1TabBorder">#AAAAAA</div> 
	<div id="custom1TabAlign">center</div> 
</div>


=פתרון=
צ"ל : <math>\frac{a_{2n}}{8}=\mathbb{Z}</math>

==בניית נוסחת הנסיגה==
נוסחת הנסיגה של הסדרה <math>\ a_{2n}</math> הינה <math>\ a_{2n+2} </math>, בכדי לבטא ולפרט את מרכבי הנוסחה, נפתח אותה, במצעות נוסחה הנסיגה הנתונה : <math>\ a_{n+1}=a_n+2n+11</math>

נמצא את האיבר <math>\ a_{2n}</math> על פי נוסחת הנסיגה הנתונה: <math>\ a_{n+1}=a_n+2n+11</math>.<br />
<math>
\begin{align}
&a_{n+1}=a_n+2n+11\\
&a_{n+1{\color{blue}+n-1}}=a_{n{\color{blue}+n-1}}+2(n{\color{blue}+n-1})+11\\
&a_{2n}=a_{2n-1}+2(2n-1)+11\\
&a_{2n}=a_{2n-1}+4n-2+11\\
&a_{2n}=a_{2n-1}+4n+9\\
\end{align}
</math>

בכדי למצוא את <math>\ a_{2n+2}</math> עלינו למצוא את <math>\ a_{2n+1}</math> שכן על פי נוסחת הנסיגה:<br />
<math>
\begin{align}
&a_{n+1}=a_n+2n+11\\
&a_{n+1{\color{blue}+n+1}}=a_{n{\color{blue}+n+1}}+2(n{\color{blue}+n+1})+11\\
&a_{2n+2}=a_{2n+1}+2(2n+1)+11\\
&a_{2n+2}=a_{2n+1}+4n+2+11\\
&a_{2n+2}={\color{red}a_{2n+1}}+4n+13\\
\end{align}
</math>

לכן, נמצא את <math>\ a_{n+1}</math> על פי נוסחת הנסיגה ואותו נציב בנוסחה לעיל:<br />
<math>
\begin{align}
&a_{n+1}=a_n+2n+11\\
&a_{n+1{\color{blue}+n}}=a_{n{\color{blue}+n}}+2(n{\color{blue}+n})+11\\
&a_{2n+1}=a_{2n}+2(n+n)+11\\
&a_{2n+1}=a_{2n}+4n+11\\
\end{align}
</math>

ומכאן הנוסחה של  <math>\ a_{2n+2}</math> הינה :<br />
<math>
\begin{align}
&a_{2n+2}={\color{red}a_{2n+1}}+4n+13\\
&\Rightarrow a_{2n+1}=a_{2n}+4n+11\\
&a_{2n+2}=a_{2n}+4n+11+4n+13\\
&a_{2n+2}=a_{2n}+8n+24\\
\end{align}
</math>

==אינדוקציה==
האיבר הראשון : <math>\ a_1=11</math><br /><br />
נוסחת הנסיגה: <math>\ a_{2n+2}=a_{2n}+8n+24 </math>. <br />
צ"ל : <math>\frac{a_{2k}}{8}=\mathbb{Z}</math>

===בדיקה נכונות הטענה עבור <math>\ n=1</math> ===
<math>
\begin{align}
&\frac{a_{2n}}{8}=\frac{a_{2n-1}+4n+9}{8}\\
&\frac{a_{2*1}}{8}=\frac{a_{2*1-1}+4*1+9}{8}\\
& =\frac{a_1+4+9}{8}\\
&\Rightarrow a_1=11\\
& =\frac{11+4+9}{8}\\
& =\frac{24}{8}=3\\
\end{align}
</math>

===נניח כי הטענה נכונה עבור <math>\ n=k</math> טבעי===
<math>\frac{{\color{red}a_{2k}}}{8}=\mathbb{Z}</math>

===נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1===
<math>
\begin{align}
&\frac{{\color{blue}a_{2(k+1)}}}{8}\\
&\frac{{\color{blue}a_{2k+2}}}{8}\\
\end{align}
</math>

===על פי נוסחת הנסיגה===
<math>\frac{{\color{blue}a_{2k+2}}}{8}=\frac{{\color{red}a_{2k}}+8k+24}{8} </math> 

===על פי הנחת האינדוקציה ===
<math>
\begin{align}
&\underbrace{\frac{a_{2k}}{8}}_{\mathbb{Z}}+\frac{8k+24}{8}\\
&=\mathbb{Z}+\frac{8(k+3)}{8}\\
&=\mathbb{Z}+k+3\\
\end{align}
</math>
<br />

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.<br />

[[קטגוריה:אינדוקציה - שאלון 035303]]
[[קטגוריה:בגרות במתמטיקה, חורף, תשס"ג (035303)]]