הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ה/035007/תרגיל 5"

<div id="custom1TabsWait" style="font-size: small; color: green;">טוען את הטאבים...</div> 
<div id="custom1Tabs" style="display: none;"> 
<div id="custom1Tab1" title="עברית">
{|width="100%" align="center" border="2" cellpadding="8"
|-
!תרגיל
|
לגרף הפונקציה <math> y=e^{\frac{x}{2}}</math> העבירו משיק בנקודה ברביע הראשון שבה <math>x=t</math>.
#הביעו באמצעות <math>t</math> את משוואת המשיק.
# נתון כי משיק זה חותך את ציר ה-<math>x</math> בנקודה <math>x=2</math>. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה-<math>y</math>.
|-
!נושא
|(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
|-
! מקור
|[http://meyda.education.gov.il/sheeloney_bagrut/2005/1/HEB/35007.PDF]
|}

</div> 
	<div id="custom1TabDefault">1</div> 
<div id="custom1Tab2" title="ערבית">
{|width="100%" align="center" border="2" cellpadding="8"
|-
!תרגיל
|
(תוכן)
|-
!נושא
|משיק, אינטגרלים ונגזרת של פונקצית e
|-
! מקור
|(קישור למסמך המקורי)
|}

</div>
<div id="custom1Tab3" title="רוסית">
{|width="100%" align="center" border="2" cellpadding="8"
|-
!תרגיל
|
(תוכן)
|-
!נושא
|(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
|-
! מקור
|(קישור למסמך המקורי)
|}

</div>
	<div id="custom1TabWidth">90%</div> 
	<div id="custom1TabBorder">#AAAAAA</div> 
	<div id="custom1TabAlign">center</div> 
</div>

===סעיף א===
הנקודה דרכה עובר המשיק היא <math>t</math>. הנקודה הזו נמצא על הפונקציה <math> y=e^{\frac{x}{2}}</math>  ולכן נציב אותה בכדי למצוא את ערך ה-<math>y</math> שלה. 

<math> y=e^{\frac{t}{2}}</math> דהינו נקודת ההשקה <math>(t, e^{\frac{t}{2}})</math>.

נציב במשוואת הישר <math>y-y_1=m(x-x_1)</math> ונקבל <math>y-e^{\frac{t}{2}}=m(x-t)</math>

נותר לנו למצוא את שיפוע המשיק בנקודה. השיפוע זהה לשיפוע הפונקציה באותה, ולכן נגזור את <math> y=e^{\frac{x}{2}}</math> נקבל <math>y'=\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}</math> ונציב את ערך ה-<math>x</math> של נקודת ההשקה, דהינו נגזרת הינה <math> y'=\frac{1}{2}e^{\frac{t}{2}}</math>

נציב את הנגזרת במשוואת הישר: <math>y-e^{\frac{t}{2}}=\frac{1}{2}e^{\frac{t}{2}}(x-t)</math>

נפתח ונקבל <math>y=\frac{1}{2}e^{\frac{t}{2}}x-\frac{1}{2}e^{\frac{t}{2}}t+e^{\frac{t}{e^2}}</math>

===סעיף ב===
על פי נתוני השאלה, אנו יודעים כי המשיק עובר דרך הנקודה <math>(2, 0)</math> ולכן נוכל למצוא את ערך ה-<math>t</math>:
<math>0=\frac{1}{2}e^{\frac{t}{2}}x-\frac{1}{2}e^{\frac{t}{2}}t+e^{\frac{t}{e^2}}</math>

נקבל <math>2=\frac{t}{2}</math> ולסיכום <math>t=4</math>.

מכאן משואות המשיק <math>y=\frac{1}{2}e^2x-e^2</math>

עתה נמצא את האינטגרל. התחומים שלו הן בין נקודת ההשקה לבין ציר ה-<math>y</math> והוא השטח הכלוא בין הפונקציה למשיק, דהינו השטח בין הפונקציה לציר ה-<math>x</math> פחות השטח בין המשיק לציר ה-<math>x</math>.

<math>s=\int_{0}^{4}e^{\frac{x}{2}}-(\frac{1}{2}e^2x-e^2)dx=\int_{0}^{4}e^{\frac{x}{2}}-\frac{1}{2}e^2x+e^2d</math>

נציב את התחום:<math>\left| 2e^{\frac{x}{2}}-\frac{1}{4}e^2x^2+e^2x\right|^4_0=2e^2-4e^2+4e^2-(2+0+0)=2e^2-2</math>

[[קטגוריה:מעריכים ולוגריתמים - 035007]]
[[קטגוריה:בגרות במתמטיקה, חורף, תשס"ה (035007)]]