הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשע"א/035006/תרגיל 4"

=תרגיל מאתגר=
{| border="1" 
|
נתונה הפונקציה <math>\ f(x)=cos(x^2-2x) </math> בתחום <math>\ -0.5\le x\le 2.5 </math>.
# בתחום הנתון מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן.
# בתחום הנתון סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
# בתחום <math>\ 0\le x\le 2</math> את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציות הנגזרת <math>\ f'(x)</math> ועל ידי ציר ה-<math>\ x</math>.<br /> תוכלו להיעזר בסקיצה של פונקצית הנגזרת <math>\ f'(x)</math>.<br /> בתשובתך דייק במידת הצורך עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
|-
|נושאים : [[מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה#חשבון דיפרנציאלי - חקירה פונקציה טריגונומטרית|פונקציה טריגונומטרית]], [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציות טריגונומטריות מורכבות (דוגמאות)|גזירה פונקציה מורכבת]], [[מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/משוואות טריגונומטריות|משוואה טריגונומטרית]] [[מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/משוואות טריגונומטריות/פתרונות ייחודים עבור פונקציות טריגונומטריות|פתרון יחודי]],[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ריבועיות|שורש ריבועי]], [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הקשר בין גרף פונקציה וגרף נגזרת|הקשר בין גרף פונקציה וגרף נגזרת]]
|-
|מקור: [http://meyda.education.gov.il/sheeloney_bagrut/2011/6/HEB/35006.PDF] [http://meyda.education.gov.il/sheeloney_bagrut/2011/6/HEB/35806.PDF]
|}

=סעיף א'=
נבצע גזירה לפונקציה <math>\ f(x)=cos(x^2-2x) </math> על פי גזירה של [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|פונקציה מורכבת]] : <math>\ u*v=v'*u*u'</math>,ונקבל : <math>\ -sin(x^2-2x)*(2x-2)</math>. נשוואה לאפס : <math>\ -sin(x^2-2x)*(2x-2)=0</math>. <br />. <br />
'''שלב א', ''' אפשר להיפטר מגורם אחד משוואה <math>\ 2x-2=0</math>. הנקודה החשודה היא <math>\ x=1</math>. <br />
'''שלב ב',''' ברצוננו להיפתר מסינוס, נוכל לבצע זאת על ידי הפיכת ה-<math>\ 0</math> לפוקצית סינוס עם זווית. בכדי לקצר את הפתרון, נעזר ב[[מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/משוואות טריגונומטריות/פתרונות ייחודים עבור פונקציות טריגונומטריות|פתרון היחודי של פונקציות סינוס]] <math>\ sin \pi =0</math>. נציב אותו במשוואה ונפתור :<br />

<math>
\begin{align}
&sin(x^2-2x)=\sin \pi/:sin\\
&x^2-2x=\pi*k/-\pi*k\\
&x^2-2x-\pi*k=0\\
\end{align}
</math>

נוציא [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ריבועיות|שורש ריבועי]] :

<math>
\begin{align}
&x^2-2x-\pi*k=0\\
&a=1, b=-2, c=\pi*k\\
&\frac{2\pm \sqrt{(-2)^2-4*(-\pi*k)}}{2*1}\\
&\frac{2\pm \sqrt{4+4*\pi*k}}{2*1}\\
&\frac{{\color{blue}2}\pm {\color{blue}\sqrt{4}}*\sqrt{1+\pi*k}}{{\color{blue}2*1}}\\
&x_{2,3}=1\pm\sqrt{1+\pi*k}\\
\end{align}
</math>
<br /><br />
נציב את הפתרון ב[[מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/משוואות טריגונומטריות/הצבה בטבלת K|טבלת k]]

{| class="wikitable"
! <math>\ 1</math>!! <math>\ 0</math> !! <math>\ -1</math>!! <math>\ k</math>
|-
| <math>\ 3.035</math> ||<math>\ 1+\sqrt{1+\pi*0}=2</math> ||<math>\ -1.035</math> ||<math>\ x_2=1+\sqrt{1+\pi*k}</math>
|-
| <math>\ -1.035</math> ||<math>\ 1-\sqrt{1-\pi*0}=0</math> ||<math>\ 3.035</math> ||<math>\ x_3=1-\sqrt{1+\pi*k}</math>
|}
הפתרונות בתחום <math>\ -0.5\le x\le 2.5 </math> הם <math>\ x_2=2</math> ו-<math>\ x_3=0</math>.
<br /><br />
'''שלב ג',''' נסדר את שלושת [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודות הקיצון]] החשודות בטבלה וכן, גם את נקודות ה'''קצה'''.<ref>אם טעיתם בחישוב או שהסתבכתם בו, שמו לב שלהבא תלחצו במחשבון את המספר אותו אתם מציבים למשל <math>\ 0.25</math> ולאחר מכן, לחצו על סימן שווה, כך, שהוא יישמר בטור <math>\ Ans</math>, מה שיבטח פתרון נכון ומהיר.</ref><br />
<br />
{| class="wikitable"
|colspan="10"|'''הנגזרת :''' <math>\ -sin(x^2-2x)*(2x-2)</math>
|-
! <math>\color{blue} 2.5</math> !! <math>\ 2.25</math>!! <math>\color{blue} 2</math> !! <math>\ 1.5</math> !! <math>\color{blue} 1</math>!! <math>\ 0.5</math> !! <math>\color{blue} 0</math> !! <math>\ -0.25</math>!! <math>\color{blue} -0.5</math>!! <math>\ x</math>
|-
| חשודה  ||  <math>\ -</math> || חשודה  || <math>\ +</math> || חשודה ||  <math>\ -</math> || חשודה || <math>\ +</math> || חשודה || <math>\ f'(x)</math>
|-
| <math>\ min</math> || <math>\searrow</math> || <math>\ max</math>|| <math>\nearrow</math> || <math>\ min</math> || <math>\searrow</math>||<math>\ max</math>|| <math>\nearrow</math> ||<math>\ min</math> || <math>\ f(x)</math>
|}

'''שלב ד',''' נציב בפונקציה  <math>\ f(x)=cos(x^2-2x) </math> למציאת ערך שיעור <math>\ y </math> של הקודות :<br />

<math>
\begin{align}
&y(-0.5)=cos(0.5^2-2*0.5)=0.32 \Rightarrow (-0.5,0.32)min\\
&y(0)=cos(0)=1 \Rightarrow (0,1)max\\
&y(1)=cos(1-2)=0.54 \Rightarrow (1,0.54)min\\
&y(2)=cos(2^2-4)=1 \Rightarrow (2,1)max\\
&y(2.5)=cos(2.5^2-2*2.5)=0.32 \Rightarrow (2.5,0.32)min\\
\end{align}
</math>

=סעיף 2=
[[File:Y=cos(x^2-2x).svg|thumb|מרכז|בתמונה גם הפונקציה וגם הנגזרת בכדי להקל על ההנבה ש הסעיף הבא]]

==סעיף 3==
'''צריך למצוא :''' השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציות הנגזרת <math>\ f'(x)</math> ועל ידי ציר ה-<math>\ x</math>.<br /> 

{| class="wikitable"
| 
# נקודת קיצון של פונקציה = נקודות חיתוך עם ציר <math>\ x</math>.
# פונקציה עולה = נגזרת מעל ציר ה-<math>\ x</math>.
# פונקציה יורדת = נגזרת מתחת לציר ה-<math>\ x</math>.
|}

התחום <math>\ -0.5\le x\le 2.5 </math>
{| class="wikitable"
|colspan="10"|'''הנגזרת :''' <math>\ -sin(x^2-2x)*(2x-2)</math>
|-
! <math>\color{blue} 2</math> !! <math>\ 1.5</math> !! <math>\color{blue} 1</math>!! <math>\ 0.5</math> !! <math>\color{blue} 0</math> !! <math>\ f(x)'</math>
|-
| נקודת חיתוך|| <math>\ +</math> || נקודת חיתוך||  <math>\ -</math> || נקודת חיתוך|| <math>\ f'(x)</math>
|-
| <math>\ max</math>|| <math>\nearrow</math> || <math>\ min</math> || <math>\searrow</math>||<math>\ max</math>|| <math>\ f(x)</math>
|}

התחומים של האינטגרל : 
#מעל הציר בין <math>\ 0-1</math>.
# מתחת <math>\ 1-2</math>.

תשובה : 0.92 (על פי אתרי פתרונות)
{{להשלים}}

=הערות שוליים=
<references/>
[[קטגוריה:חשבון דיפרנציאלי טריגונומטריה - 035306]]
[[קטגוריה:בגרות במתמטיקה, קיץ א, תשע"א (035006)]]