הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ ב, תשס"ב/035302/תרגיל 4"

<div id="custom1TabsWait" style="font-size: small; color: green;">טוען את הטאבים...</div> 
<div id="custom1Tabs" style="display: none;"> 
<div id="custom1Tab1" title="עברית">
{|width="100%" align="center" border="2" cellpadding="8"
|-
!תרגיל
|
#הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל <math>n</math> טבעי מתקיים <math>\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\cdots+\frac{1}{(n+3)(n+4)}=\frac{n}{4(n+4)}</math> .
#נתון שסכום <math>n</math> המחוברים הראשונים של הטור שבסעיף א' הוא <math>\frac15</math> . חשב את המחובר ה- <math>n</math>-י בטור.
|-
!נושאים
| [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]],[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/חישוב סכום והוכחת סכום|חישוב סכום]]
|-
!
|[http://meyda.education.gov.il/sheeloney_bagrut/2002/8/HEB/35302.PDF] [http://meyda.education.gov.il/sheeloney_bagrut/2002/8/HEB/35305.PDF]
|}

</div> 
	<div id="custom1TabDefault">1</div> 
<div id="custom1Tab2" title="ערבית">
{|width="100%" align="center" border="2" cellpadding="8"
|-
|
|}

</div>
<div id="custom1Tab3" title="רוסית">
{|width="100%" align="center" border="2" cellpadding="8"
|-
|

|}
</div>
	<div id="custom1TabWidth">90%</div> 
	<div id="custom1TabBorder">#AAAAAA</div> 
	<div id="custom1TabAlign">center</div> 
</div>


==סעיף 1==
===בדיקה נכונות הטענה עבור <math>n=1</math>===
<math>\begin{align}&L_{eft}:\frac{1}{(n+3)(n+4)}=R_{ight}=\frac{n}{4(n+4)}\\&L_{eft}:\frac{1}{(1+3)(1+4)}=R_{ight}=\frac{1}{4(1+4)}\\&L_{eft}:\frac{1}{4\cdot5}=R_{ight}=\frac{1}{4\cdot5}\surd\\ \end{align}</math>
===נניח כי הטענה נכונה עבור <math>n=k</math> טבעי===
<math>\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\cdots+\frac{1}{(k+3)(k+4)}=\frac{k}{4(k+4)}</math>
===נוכיח כי הטענה נכונה עבור <math>n=k+1</math>===
<math>\begin{align}&\underbrace{\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\cdots+\frac{1}{(k+3)(k+4)}}_{\frac{k}{4(k+4)}}+\frac{1}{(k+4)(k+5)}=\frac{k+1}{4(k+5)}\\&\frac{k}{4(k+4)}+\frac{1}{(k+4)(k+5)}=\frac{k+1}{4(k+5)}\\&k(k+5)+4=(k+1)(k+4)\\&k^2+5k+4=k^2+5k+4\\ \end{align}</math>

האינדוקציה נכונה על-פי 4 שלבי האינדוקציה.

==סעיף 2==
עלינו לגלות את האבר ה- <math>n</math> , שחיבור האברים עד אליו נותן <math>S_{n-1}=\frac15</math>

ראשית נגלה את מקום האבר על-פי סכום הסדרה:
:<math>\begin{align}&\frac{n}{4(n+4)}=\frac15\\&5n=4n+16\\&n=16\end{align}</math>

עתה משמצאנו את מיקום האבר נמצא את ערכו באמצעות הנוסחא הכללית של הסדרה:
:<math>\begin{align}&a_n=\frac{1}{(n+3)(n+4)}\\&a_{16}=\frac{1}{(16+3)(16+4)}\\&a_{16}=\frac{1}{18\cdot20}\\ \end{align}</math>
[[קטגוריה:אינדוקציה - שאלון 035302]]
[[קטגוריה:בגרות במתמטיקה (חדשה), קיץ ב, תשס"ב (035302)]]