הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ ב, תשע"ג/035804/תרגיל 3"

{{תבנית:מתמטיקה תיכונית/הסתברות/4יחידות}}

== נוסח השאלה ==


[http://sfile.f-static.com/image/users/71054/ftp/my_files/tofsei%20bhinot%20bagrut/804/804_kaiz_2013_b.pdf?id=12956780 הפניה לטופס]

== סעיף א ==
נתון כי <math>P(success)=P(fail)+0.2</math>

מכיוון שהאירועים הצלחה וכישלון זרים ומכסים את כל האפשרויות:
<math>P(success)+P(fail)=1</math>

ולכן

<math>P(fail)+P(fail)+0.2 =1</math>

<math>2P(fail) =0.8</math>

<math>P(fail) =0.4</math>

<math>P(success)=P(fail)+0.2=0.4+0.2=0.6</math>

(סכמו את ההסתברויות כדי לוודא שלא נפלה שגיאה בחישוב וקיבלנו 1).

== סעיף ב ==

=== תת סעיף 1 ===
מכיוון שמדובר בארבעה נבחנים אנו דוגמים מהתפלגות ברנולי <math>B(4,0.6)</math>


ההסתברות לקבלת k הצלחות ב-n ניסויים (<math>k=0,1,\ldots,n</math>) היא:{{ש}}
:<math>
P\left(X=k\right) 
= 
{n \choose k}
p^k
\left(1-p\right)^{n-k}
</math>{{ש}}

<math>p(2\text{ successes}) = \binom{4}{2}0.6^2*0.4^2</math>


נוסחת הבינום היא
<math>\ n! = \binom{n}{k}\cdot k! \cdot (n-k)!</math>, ולכן:  <math>\ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}</math>

מכאן
<math>\binom{4}{2} = 4!/(2!*2!)=(4*3*2*1)/((2*1)*(2*1))=6</math>

<math>p(2\text{ successes}) = \binom{4}{2} 0.6^2*0.4^2=6*0.0576
=0.3456
</math>

=== תת סעיף 2 ===

הסיכוי למעבר שווה לכל אחד מהנבחנים. מכאן הסיכוי למעברם של של ראובן ושמעון שווה לסיכוי של מעברם של כל שני נבחנים אחרים.

בתת סעיף 1 ראינו כי מספר האפשרויות למעבר של שני נבחנים הוא <math>{2 \choose 4} = 4!/(2!*2!)=(4*3*2*1)/((2*1)*(2*1))=6</math>

<math>P(\text{Reuven and Shimon succeeded}| 2 \text{ succeeded})=1/6</math>

===  תת סעיף 3 ===

יכולנו לענות על הסעיף על ידי חישוב הסיכוי לכל אפשרות.

אבל, כידוע, "מתמטיקה היא מקצוע לעצלנים".

לכן, נענה על השאלה מבלי לטרוח לחשב את שני הסיכויים.

האירועים לפחות אחד עובר ולפחות אחד נכשל נבדלים במקרים
* אף אחד לא עובר
* אף אחד לא נכשל (כל הארבע עוברים)

כל יתר האפשרויות (1, 2,3 עוברים) משותפות ולכן לא ישנו את יחס בין אף אחד לא עובר ואף אחד לא נכשל.

<math>P(0\text{ successes})= {1 \choose 4}0.6^4\times0.4^0</math>

<math>P(4\text{ successes})= {4 \choose 4}0.6^0\times0.4^4</math>


נוסחת הבינום היא
<math>\ n! = \binom{n}{k}\cdot k! \cdot (n-k)!</math>, ולכן:  <math>\ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}</math>

נשים לב כי <math>{0 \choose 4} = 4!/(4!*1!)={4 \choose 4}</math>

מכאן שמספר האפשרויות בכל חישוב זהה.

הסיכוי להצלחה גדול מהסיכוי לכישלון ולכן גם הסיכוי לאירוע הצלחה מסויים (לדוגמה ראובן היחיד שמצליח) גדול מהסיכוי לאירוע כישלון מסויים (ראובן היחיד שנכשל).

לשם המחשה <math>(0.6^4\times 0.4^0)/(0.6^0\times0.4^4) = 0.6^4/0.4^4 = 1.5^4 > 1</math>

הסיכוי שכולם יעברו גדול מהסיכוי שכולם יכשלו.

בשל כך הסיכוי שלפחות אחד יצליח גדול מהסיכוי שלפחות אחד יכשל.


== העשרה ==
*  [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%A8%D7%93%D7%95%D7%A7%D7%A1_%D7%94%D7%A2%D7%95%D7%A8%D7%91 פרדוקס העורב]

[[קטגוריה:הסתברות - 035804]]
[[קטגוריה:בגרות במתמטיקה, קיץ ב, תשע"ג (035804)]]