הצגת המקור של הדף "תורת הבקרה/פונקצית התמסורת"

[[תמונה:General open loop system.svg|שמאל]]
פונקצית התמסורת (Transfer Function) היא פונקציה המקשרת בין אות יציאה C לאות כניסה R במצב של תנאי התחלה אפס. הצורה הכללית של פונקצית תמסורת היא:
:<math>\ G(s)={C(s)\over R(s)}</math>
והיא שימושית במעגלים לינארים וקבועים בזמן ({{מונח|LTI|Linear Time Invariant}}).

==פיתוח מתמטי==
{{תזכורת|במערכת פיזיקלית n&ge; m}}
משיקולי הרגל, נסמן בסעיף זה את הכניסה והיציאה ב-x,y.

נניח כי ה{{מונח|מד"ר|משוואה דיפרנציאלית רגילה}} המתקיימת בין אות כניסה לאות יציאה הוא:
:<math>\ a_n y^{(n)}+ a_{n-1}y^{(n-1)}\ +\cdots +\ a_1\dot y + a_0y= b_m x^{(m)}+ b_{m-1}x^{(m-1)}\ +\cdots +\ b_1\dot x + b_0x</math>
כאשר x הוא אות הכניסה ו-y הוא אות היציאה ותנאי ההתחלה הם אפס. במעבר למישור לפלס נקבל<ref>המעבר שלהלן הוא אפשרי מכיוון שתנאי ההתחלה הם אפס. אחרת, בהתאם לכללי ההתמרה היינו צריכים להתחשב גם בהם ואז היה נשאר איבר חופשי ולא היה אפשר לקבל מנת פולינומים.</ref>:
:<math>\ Y(s)(a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}\ +\cdots +\ a_1s+a_0)= X(s)(b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}\ +\cdots +\ b_1s+b_0)</math>
ואז פונקצית התמסורת:
:<math>\ G(s)={Y(s)\over X(s)}= {B(s)\over A(s)}</math>

===מסקנות===
* פונקצית התמסורת אינה תלויה באות הכניסה או באות היציאה אלא תלויה במערכת בלבד.
* מחשבים את פונקצית התמסורת עבור תנאי התחלה אפס (במקרה זה אין איברים הנובעים מ{{מונח|ת"ה|תנאי התחלה}} בהתמרת הלפלס).
* אות היציאה שווה לפונקצית התמסורת כאשר הכניסה היא [[תורת הבקרה/פונקצית הלם|פונקצית הלם]].

==הגדרות==
* ההגבר החופשי K של מערכת בעלת פונקצית תמסורת G כתלות בתדר &omega; נתון על ידי:
:<math>\ K(\omega)= |G(j\omega)|</math>
* הפאזה &phi; של מערכת בעלת פונקצית תמסורת G כתלות בתדר &omega; נתונה על ידי:
:<math>\ \phi(\omega)= \arg G(j\omega)</math>
* מקובלים השמות:
** proper כאשר n&ge;m
** strictly proper כאשר n>m
** biproper כאשר n=m

==מערכות לינארית==
===הגדרת הלינאריות===
פונקציה <math>\ y=f(x)</math> נקראת לינארית אם ורק אם מתקיימים התנאים:
# אדיטיביות: <math>\ f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)</math>
# הומוגניות: <math>\ k\cdot f(x)=f(k\cdot x)</math>
====דוגמאות====
* הפונקציה <math>\ y=ax+b</math> אינה לינארית<ref>אין לבלבל את מושג הלינאריות המוצג כאן עם המושג "פונקציה לינארית". פונקציה לינארית היא כזו ששיפועה קבוע, ואילו כאן יש דרישות אחרות.</ref> עקב האיבר החופשי b.

===משפט הסופרפוזיציה===
נניח כי מפעילים על מערכת אותות כניסה כלשהם, לסרוגין. משפט הסופרפוזיציה קובע כי תגובת המערכת לכל האותות האלו יחד שווה לסכום תגובת המערכת לכל אות בנפרד:
:<math>\ f(k_1x_1+k_2x_2)=f(k_1x_1)+f(k_2x_2)</math>

==תופעות מעבר ומצב מתמיד==
פתרון של מד"ר המייצגת מערכת דינמית, מורכב מפתרון הומוגני ומפתרון פרטי: <math>\ x(t)=x_h(t)+x_p(t)</math>.
* הפתרון ההומוגני תלוי אך ורק במערכת, ומייצג את תופעות המעבר.
* מקדמי הפתרון ההומוגני תלויים בתנאי התחלה.
* הפתרון הפרטי ומקדמיו תלויים במערכת ובאות הכניסה, אך לא תלויים בתנאי ההתחלה.
* הפתרון הפרטי מייצג את התנהגות המערכת במצב המתמיד<ref>הפתרון הפרטי הוא הפתרון במצב המתמיד רק כאשר המערכת אינה מתבדרת.</ref>, כאשר תופעות המעבר דועכות.
* אם אות הכניסה הוא סינוסי אז במצב מתמיד אות היציאה גם הוא יהיה סינוסי ובאותו התדר (זו למעשה תכונה של מערכת לינארית), אך ההגבר החופשי והפאזה יכולים להיות שונים.

==תגובת אמפליטודה ותגובת תדר==
[[תמונה:General open loop system.svg|שמאל|300px]]
עבור מערכת דינמית לינארית ויציבה, כאשר נכניס אות כניסה מהצורה <math>\ r(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> נקבל אות יציאה מהצורה <math>\ c(t)=k(\omega)A\sin(\omega t+\phi+\phi_0(\omega))</math> כאשר:
* תגובת האמפליטודה (Magnitude Response) מוגדרת: <math>\ k(\omega)=|G(j\omega)|</math> והיא היחס בין אמפליטודת היציאה לאמפליטודת הכניסה.
* תגובת הפאזה (Phase Response) מוגדרת: <math>\ \phi_0(\omega)= \arg G(j\omega)</math> והיא ההפרש בפאזה בין אות היציאה לאות הכניסה.
* תגובת התדר (Frequency Response) מוגדרת: <math>\ G(j\omega)= |G(j\omega)| e^{j\phi_0(\omega)}</math>
כלומר במערכת דינמית לינארית, כניסה מחזורית נותנת יציאה מחזורית עם שינוי פאזה ושינוי אמפליטודה ללא שינוי בתדר.

==מטלאב==
ניקח לשם דוגמה את פונקצית התמסורת הבאה:
:<math>\ G(s)=\frac{s+1}{s(s+2)(s+3)}</math>
===דרך א===
<source lang="matlab">
num=[1 1];
den=conv(conv([1 2],[1 3]),[1 0]);
G=tf(num,den);
</source>
כאשר הפונקציה conv "פותחת סוגריים" של פולינום הנתון בצורת מערך, אשר איברים מסודרים כמקדמי הפולינום מהחזקה הגבוהה ועד הנמוכה.

===דרך ב===
<source lang="matlab">
s=tf('s');
G=(s+1)/s/(s+2)/(s+3);
</source>

==מערכות משוב==
[[תמונה:General closed loop feedback system with proportional controller.svg|שמאל|350px|ממוזער|מערכת עם משוב כללי H והגבר חפשי K בחוג.]]
{{הארה|לא ניתן להזיז את אפסי המערכת באמצעות משוב או שינוי הגבר החוג. לכל היותר נוספים אפסים קבועים חדשים.}}

(להשלים)

===טרמינולוגיה===
* '''החוג הקדמי''' הוא המכפלה KG.
* '''חוג המשוב''' הוא הפונקציה H.
* '''תמסורת החוג הפתוח''' היא המכפלה KGH.
* '''תמסורת החוג הסגור''' היא המנה <math>\ \tfrac{KG}{1+KGH}</math>.

==דוגמאות==
===מד תאוצה===
[[תמונה:Acceleration meter.svg|שמאל|200px]]
נניח:
* <math>\ x_{box}</math> - תזוזת הקופסה.
* <math>\ x_{mass}</math> - תזוזת המסה (m) '''ביחס לקופסה'''.
אם כן, אנו מעוניינים בתאוצה <math>\ a=\ddot x_{mass}</math>, אשר מהווה את תאוצת המערכת אליה מחוברת הקופסה.

המד"ר המתארת את המערכת:
:<math>\ kx_{mass}+c\dot x_{mass}= m(\ddot x_{box}- \ddot x_{mass})</math>
נבצע התמרת לפלס כדי לעבור למישור התדר:
:<math>\ kX_{mass}+scX_{mass}= ms^2(X_{box}-X_{mass})</math>
ולכן פונקצית התמסורת בין תזוזת הקופסה לתאוצת המסה היא:
:<math>\ {X_{box}(s)\over A(s)}= {X_{box}(s)\over s^2 X_{mass}}= {1\over s^2+{c\over m}s +{k\over m}}</math>

{{הארה|הגודל המדיד בבעיה הוא תזוזת הקופסה <math>\ x_{box}</math> והגודל המעניין אותנו הוא תאוצת  המערכת <math>\ \ddot x_{mass}</math> ולכן פונקצית התמסורת נראית כנ"ל. באותה מידה, יכולנו לכתוב את פונקצית התמסורת בין תזוזת הקופסה לתזוזת המערכת:
:<math>\ {X_{box}(s)\over X_{mass}(s)}= {s^2\over s^2+{c\over m}s +{k\over m}}</math>
}}

==הערות==
<references/>

[[קטגוריה:תורת הבקרה|ת]]