הצגת המקור של הדף "תורת הבקרה/שיטת לוקוס השורשים"

{|align=left
|__TOC__
|}
בשיטת {{מונח|לוקוס|לוקוס היא מילה אחרת למקום גיאומטרי}} השורשים (RL - Root-Locus) מתארים באופן גרפי את תזוזת שורשי הפולינום האופייני (קטבי התמסורת) כתלות בהגבר הקבוע. בהינתן פונקצית תמסורת של החוג הפתוח, בעזרת שיטת לוקוס השורשים ניתן למצוא את מיקום קטבי החוג הסגור עבור הגבר כלשהו<ref>לא ניתן להזיז את אפסי המערכת באמצעות שינוי ההגבר החופשי.</ref>. שיטה זו שימושית במערכות מסוג {{מונח|SISO|Single Input Single Output}}. התיאור הגרפי מראה את התנהגות היציבות של המערכת וחוסך חישוב נקודתי של ערכי השורשים עבור כל שינוי של ההגבר. השיטה נקראת כך משום שעבור כל ערך של ההגבר משרטטים את מיקום השורשים, כך שמתקבל לוקוס התזוזות של השורשים על גבי מישור s.

מתוך אנליזת RL ניתן לבחור את גודל הפרמטר (הגבר, קוטב, אפס) כך שיעניק למערכת את ההתנהגות הרצויה לנו.

==אבחנות==
[[תמונה:General closed loop feedback system with proportional controller.svg|שמאל|350px|ממוזער|מערכת עם משוב כללי H.]]
על פי הגדרה, משרטטים {{מונח|לוקוסים|נהוג לקרוא לכל לוקוס בשם ענף}} עבור הפוקנציה GH. כך למשל, אם נרצה לקבל במטלאב את גרף ה-Root Locus של המערכת שבאיור, נזין את הפונקציה GH.
:<math>\ G_{CL}={C(s)\over R(s)}= {KG(s)\over 1+KG(s)H(s)}</math>
נניח כי:
:<math>\ KG(s)H(s)=K{B(s)\over A(s)}= K\frac{s^m+b_{m-1} s^{m-1}+...+ b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_0}= K\frac{(s+z_1)\cdots(s+z_m)}{(s+p_1)\cdots(s+p_n)}</math>
{{הארה|<math>\ a_{n-1}= \sum_{i=1}^n p_i \quad ;\quad b_{m-1}= \sum_{i=1}^m z_i \quad ;\quad a_0= \prod_{i=1}^n (-p_i)</math>}}
ולכן פונקצית התמסורת הכללית מקבלת את הצורה:
:<math>\ G_{CL}= {KG(s)\over 1+KG(s)H(s)}= {KB(s)\over A(s)+KB(s)}</math>
לכן המשוואה האופיינית תתקבל מהשוואת המכנה של הביטוי האחרון לאפס:
:<math>\ \mbox{Characteristic equation:}\quad \begin{cases}
1+KG(s)H(s)=0 \\
\qquad\mbox{or} \\
A(s)+KB(s)=0
\end{cases}</math>
כעת ניתן לשרטט את הלוקוס של הקטבים כתלות ב-K. האבחנות הראשונות שנבצע יהיו עבור מקרי קיצון:
* עבור <math>\ K\to 0</math> קטבי התמסורת יתקרבו לשורשים של A (קטבי התמסורת).
* עבור <math>\ K\to \infty</math> קטבי התמסורת יתקרבו לשורשים של B (אפסי התמסורת).
אם כן, בשיטת לוקוס השורשים של מערכת בחוג סגור, נתחיל במציאת קטבי התמסורת של החוג הפתוח (A) ונסיים במציאת אפסי התמסורת של החוג הפתוח (B), כאשר K נע בין אפס לאינסוף, בהתאמה.

===סיכום===
אם המערכת הנידונה היא מהצורה של משוב כללי H (איור 1), אז:
* אנליזת Root-Locus על הפונקציה GH מתבצעת באמצעות המשוואה <math>\ 1+KGH=0</math>.
* המשוואה האופיינית מתקבלת מהשוואת הביטוי <math>\ 1+KGH</math> לאפס, או לחילופין השוואת הביטוי <math>\ A(s)+KB(s)</math> לאפס.
* עבור K=0, קטבי התמסורת מתלכדים עם קטבי GH.
* '''מספר הענפים שווה ל-n''', כלומר לסדר הפולינום במכנה התמסורת של החוג הסגור. כל ענף הוא המקום גאומטרי במישור s עליו נע קוטב של חוג הסגור, כתלות בהגבר K.

{{שימו לב|עבור K<0 נקבל תנאים "הפוכים". לפרטים, הביטו ב[[#לוקוס השורשים עבור K<0|סעיף העוסק בכך]].}}

==קריטריון ההגבר וקריטריון הפאזה==
{{שימו לב|נסמן <math>\ \bar G=KGH</math>}}
כזכור, המשוואה האופיינית מתקבלת מהשוואת המכנה של פונקצית התמסורת הכללית לאפס: <math>\ 1+\bar{G}(s)=0</math>. לכן כל נקודה s<sub>RL</sub> במישור s הנמצאת על לוקוסי השורשים  מקיימת<ref>פתרון המשוואה האופיינית נותן את שורשי המשוואה, ועבור K משתנה נקבל את הלוקוס. לכן פתרון המשוואה האפיינית יושב על הלוקוס.</ref>:
:<math>\ \bar G(s_{RL})=-1</math>
מתנאי זה ניתן לקבל את קריטריון ההגבר וקריטריון הפאזה.

===קריטריון ההגבר===
מהביטוי האחרון מתקבל כי כל נקודה s<sub>RL</sub> על לוקוס השורשים מקיימת:
:<math>\ |\bar G(s_{RL})|=  K \frac{\prod\limits_{i=1}^m |s_{RL}+z_i|}{\prod\limits_{i=1}^n |s_{RL}+p_i|}=1</math>
כאשר z<sub>i</sub>, p<sub>i</sub> הם אפסי הפולינומים A, B בהתאמה.

מכאן ניתן לחשב את K במקרה ששאר הפרמטרים ידועים, או לחשב את מיקום השורשים על הלוקוס, עבור K מסוים.

{{הארה|אם הפולינומים A,B מוגדרים כמכפלת הגורמים (s-p<sub>i</sub>),(s-z<sub>i</sub>) אז גם בקריטריון ההגבר (וגם בקריטריון הפאזה) הגורמים יופיעו עם סימן "-", ולא עם סימן "+" כפי שמופיע כאן.}}

===קריטריון הפאזה===
כמו כן, כל נקודה s<sub>RL</sub> על לוקוס השורשים מקיימת:
:<math>\ \arg\bar G(s_{RL})= \sum_{i=1}^m \arg(s_{RL}+z_i)- \sum_{i=1}^n \arg(s_{RL}+p_i)= \begin{cases}
(2k+1)\pi,  & K>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2... \\
2k\pi, & K<0,\ k=0,\pm 1,\pm 2...
\end{cases}</math>
כאשר z<sub>i</sub>, p<sub>i</sub> הם אפסי הפולינומים A, B בהתאמה.

כלומר עבור K>0, ההפרש בין סכום הזוויות מהאפסים לנקודה לבין סכום הזויות מהקטבים לנקודה צריך להיות שווה לכפולה אי זוגית של 180°.

{{הארה|שימו לב כי <math>\ \left. \arg\bar G(s) \right|_{s=s_{RL}}= \left. \arg G(s)H(s) \right|_{s=s_{RL}}</math>.}}

==אסימפטוטות==
עבור m=n כל הענפים נסגרים, כלומר כל הקטבים עוברים לאפסים. כאשר m<n, יש n-m ענפים הבורחים לאינסוף, ולכן גם n-m אסימפטוטות. לסיכום:
:::'''מספר האסימפטוטות שווה ל: n-m.'''

===זוויות האסימפטוטות===
מחוק הפאזה מתקבל כי הזויות &phi; של האסימפטוטות נתונות על ידי:
:<math>\ \begin{cases} 
K>0\ : & \phi_k= \frac{(2k+1)\pi}{n-m} \\
K<0\ : & \phi_k= \frac{2k\pi}{n-m}
\end{cases}\ ,\quad k=0,1,2...(n-m-1)</math>
כלומר יש n-m אסימפטוטות (שהן קווים ישרים) בזוויות &phi;<sub>k</sub>, והאסימפטוטות סימטריות ביחס לציר הממשי.

===מוצא האסימפטוטות===
האסימפטוטות יוצאות מאותה נקודה (על הציר הממשי) המהווה את "מרכז הכובד" של הקטבים והאפסים: <math>\ s_{CG}= -\frac{b_{m-1}-a_{n-1}}{n-m}= {\sum\limits_{i=1}^n p_i -\sum\limits_{i=1}^m z_i\over n-m}</math>, כאשר p,z הם ערכי האפסים והקטבים בהתאמה, ו-a,b הם מקדמים במנת הפולינומים A,B המרכיבים את <math>\bar G(s)</math> (ראו בסעיף ה[[#אבחנות|אבחנות]]).

{{הארה|לעתים בספרות רשום <math>\ s_{CG}= {\sum\limits_{i=1}^n \mbox{Re}(p_i) -\sum\limits_{i=1}^m \mbox{Re}(z_i)\over n-m}</math>, אך מכיוון שהקטבים המרוכבים באים בזוגות צמודים, כל החלקים המדומים מצטמצמים.}}

==התפצלות לוקוסים==
נקודות התפצלות הן נקודות בהן קיים קוטב מריבוי 2 ומעלה.

===התפצלות מן הציר הממשי===
מהמשוואה האופיינית ניתן לקבל את התנאי <math>\ {d\over ds}\bar G(s)=0 \quad\Rightarrow\quad {dK\over ds}=0</math>. כלומר כל נקודת התפצלות ("עזיבה") היא מקסימום (או מינימום) של K עבורו השורש עדיין ממשי. שימו לב כי לא כל הנקודות המאפסות את הנגזרת הן נקודות עזיבה מאחר ועליהן לקיים גם את המשוואה האופיינית. כלומר מבין כל הנקודות המתקבלות מהשוואת הנגזרת לאפס, נקודות העזיבה הן רק אלו אשר מקיימות גם את המשוואה האופיינית.

{{הארה|ניתן להשתמש במשוואה האנלוגית: <math>\ {d\over ds}\left[ {1\over G(s)H(s)} \right]=0</math>.}}

==זוויות יציאה והגעה==
יש לחשב את זווית היציאה מכל קוטב ואת זווית ההגעה לכל אפס.

===זווית עזיבה והגעה בציר הממשי===
במקרה פשוט זה, בו הלוקוס עוזב את הציר הממשי (או מגיע אליו), '''הזווית בין הענפים''' נתונה על ידי:
:<math>\ \phi=\frac{360^o}{r}</math>
כאשר r הוא ריבוי השורשים באותה נקודה. אם r=2, כאשר הקטבים מתקרבים לנקודת העזיבה על הציר הממשי, הזווית ביניהם היא אכן 180°, וכאשר הם מתפצלים, הזווית צריכה להיות גם כן 180°. מאחר והלוקוס צריך לקיים את תכונת הסימטריה ביחס לציר הממשי, נקבל איפוא שהענפים יוצאים ב-±90° ביחס לציר הממשי.

===זווית עזיבה===
זווית העזיבה של לוקוס מהקוטב <math>\ s=-p_1</math> נתונה על ידי: <math>\arg(s+p_1)= \sum_{i=1}^m \arg(s+z_i) - \sum_{i=2}^n \arg(s+p_i) - (2k+1)\pi</math>.

===זווית הגעה===
זווית ההגעה של לוקוס לאפס <math>\ s=-z_1</math> נתונה על ידי<ref>נוח להניח ש-k=0 ולבסוף להחסיר כפולות של 2&pi; במידת הצורך.</ref>: <math>\arg(s+z_1)= (2k+1)\pi +\sum_{i=1}^n \arg(s+p_i) - \sum_{i=2}^m \arg(s+z_i)</math>.

{{הארה|מעשית, נבצע את החישוב באופן הבא: נגדיר
:<math>\ \sum\phi_{others}= \sum_{zeros} \psi_i - \sum_{poles} \theta_i</math>
כאשר <math>\ \psi_i,\theta_i</math> הן הזוויות בין האפס/הקוטב הנבחר לבין שאר האפסים/קטבים של המערכת:
:<math>\ \psi_i=\arg(p-z_i),\ \theta_i=\arg(p-p_i)</math>
לבסוף:
:<math>\ \begin{cases} 
(K>0): & \phi_{departure}=180^o+\sum\phi_{others} \\
(K<0): & \phi_{arrival}=\sum\phi_{others}
\end{cases}</math>
}}

==חיתוך עם הציר המדומה==
את נקודות החיתוך עם הציר המדומה ניתן למצוא באמצעות [[תורת הבקרה/קריטריון ראוט|קריטריון ראוט]]. תחילה נמצא את ה-K-ים הגבוליים עבורם המערכת הופכת ללא יציבה (מערכת אינה יציבה כאשר יש קוטב אחד או יותר ב-{{מונח|ORHP|Open Right Half Plain}}). הצבת ה-K-ים הללו למשוואה האופיינית תתן את נקודות החיתוך (כזכור, המשוואה האופיינית מגדירה את המקום הגיאומטרי של כל נקודות ה-Root-Locus).

==סיכום==
{{תזכורת|במערכת פיזיקלית: n &ge; m}}
===כללים===
# '''המשוואה האופיינית:''' כל נקודה s<sub>RL</sub> על לוקוס מקיימת: <math>\ \bar G(s_{RL})=-1</math> ולכן מתקיימים:
## קריטריון ההגבר: <math>\ |\bar G(s_{RL})|=1</math>
## קריטריון הפאזה: <math>\ \arg\bar G(s_{RL})= \pi</math>
#: כל הכללים לשרטוט Root-Locus נובעים משני תנאים אלו.
# מספר הלוקוסים של מערכת שווה למספר הקטבים של פונקצית התמסורת בחוג פתוח: n (כלומר מספר הקטבים של <math>\bar G</math>).
# '''{{מונח|ענפים|לוקוסים נפרדים נקראים ענפים}} פתוחים:''' מספר הלוקוסים ה"בורחים" לאינסוף (הגבר אינסופי) שווה להפרש n-m בין מספר הקטבים למספר האפסים של G.
# '''התחלה:''' שרטוט הלוקוסים מתחיל בקטבי התמסורת של החוג הפתוח.
# '''סיום:''' השרטוט מסתיים באפסי התמסורת של החוג הפתוח. מאחר ומספר הקטבים גדול ב n-m ממספר האפסים, ישנם n-m עקומים ה"בורחים" לאינסוף. שני קטבים לא יכולים "להסתיים" באותו אפס.
# '''סימטריה:''' כזכור, קטבי פונקצית התמסורת הם חיוביים או זוגות של מרוכבים-צמודים. לכן לוקוסי השורשים הם סימטריים יחסית לציר הממשי.
# '''נקודות מימין:''' עבור K>0, לכל נקודה על הציר הממשי הנמצאת על לוקוס של שורש, קיימים מספר אי-זוגי של אפסים וקטבים מימין לנקודה (במקרה של K<0: מספר זוגי).

===שלבים===
# קביעה: מספר הענפים שווה ל-n, ומספר הענפים ההולכים לאינסוף הוא n-m. לכן יש n-m אסימפטוטות.
# סימון הקטעים על הציר הממשי בהם קיים ה-RL.
# חישוב זוויות האסימפטוטות ונקודת המוצא של האסימפטוטות.
# חישוב זוויות יציאה מקטבים וזוויות הגעה לאפסים.
# מציאת נקודת התפצלות ה-RL.
# חישוב נקודות החיתוך עם הציר המדומה.

{{הארה|הקטבים העיקריים המשפיעים על תגובת מערכת חוג סגור הם אלה הקרובים ביותר לציר המדומה.}}

==לוקוס השורשים עבור K<0==
[[תמונה:RL&ZARL-(1 3)-(1 3 5 1).png|שמאל|ממוזער|300px|ה-ZARL הוא ה"משלים" של ה-RL.]]
במקרה של ZARL - Zero Angle Root Locus, המשוואה האופיינית היא:
:<math>\ 1-|K|GH=0</math>

===כללים===
# <small>([[#קריטריון ההגבר|לסעיף]])</small> קירטריון ההגבר: (ללא שינוי:) <math>\ |KGH|=1</math>
# <small>([[#קריטריון הפאזה|לסעיף]])</small> קריטריון הפאזה: <math>\ \arg \bar G(s_{RL})=2k\pi,\ k=0,\pm 1,\pm 2...</math>
# מתחילים בקטבים עם K=0 ומסיימים עם <math>\ K=-\infty</math> באפסים או באסימפטוטות.
# ה-ZARL קיים על הציר הממשי בכל מקום בו מצד ימין סכום הקטבים והאפסים הוא '''זוגי'''.
# <small>([[#זוויות האסימפטוטות|לסעיף]])</small> זוויות האסימפטוטות: <math>\ \phi_k= {2\pi\over n-m},\ k=0,1,2...(n-m-1)</math>

==מטלאב==
[[תמונה:General closed loop unity feedback system.svg|שמאל|400px]]
בהתאם לסימון לעיל, מבצעים אנליזת Root-Locus על הפונקציה <math>\bar G(s)</math>, כלומר פונקצית התמסורת בחוג פתוח של מערכת משוב יחידה.

נניח כי <math>\ \bar G(s)= {s+1\over s(s+2)(s+3)(s+4)}</math>.
{{קוד מקור|קוד=
<source lang="matlab">
num=[1 1];
den=conv(conv([1 0],[1 2]),conv([1 3],[1 4]));
rlocus(num,den)
</source>
}}
או לחילופין:
{{קוד מקור|קוד=
<source lang="matlab">
G=tf(num,den);
rlocus(G)
</source>
}}

במטלאב קיים כלי לניתוח מערכות. ניתן להפעילו על ידי הרצת:
{{קוד מקור|קוד=
<source lang="matlab">
rltool
</source>
}}

(להשלים: rltool)

==דוגמאות==
{{הארה|נהוג לסמן על השרטוט קטבים ב-X ואפסים ב-O.}}

===דוגמה 1===
נניח כי <math>\ \bar G(s)= {K\over (s+1)(s+2)}</math> אז המשוואה האופיינית מתקבלת מן הביטוי <math>\ 1+{K\over (s+1)(s+2)}=0 \quad\Rightarrow\quad (s+1)(s+2)+K=0</math>.
* במקרה פשוט זה, ניתן למצוא ביטוי כללי לשורשים, כתלות ב-K (בדרך כלל לא ניתקל במקרים פשוטים כאלה):
::<math>\ s^2+3s+(2+K)=0 \quad\Rightarrow\quad s_{1,2}=-1.5\pm\sqrt{0.25-K}</math>
[[תמונה:RL-(0 1)-(1 1)(1 2).png|שמאל|400px]]
* כפי שניתן לראות, עבור K=0 שורשי המשוואה מתלכדים עם קטבי <math>\bar G(s)</math>, כלומר s=-1,-2.
* נמשיך לקבל שורשים ממשיים ככל ש-K גדל, עד אשר K=0.25 (קוטב כפול). מכאן והלאה, כל הגדלה של K תניב זוג שורשים מרוכבים צמודים שימצאו לעולם על אותו הישר (ישר זה הוא ערך החלק הממשי של השורשים).
* ככל שההגבר החופשי K הולך וגדל, כך ריסון המערכת הולך וקטן.

(להשלים)

===דוגמה 2===
נניח כי <math>\ \bar G(s)= {K\over s(s+1)(s+2)}</math> אז המשוואה האופיינית מתקבלת מן הביטוי <math>\ 1+{K\over s(s+1)(s+2)}=0 \quad\Rightarrow\quad s(s+1)(s+2)+K=0</math>.
[[תמונה:RL-(0 1)-(1 0)(0 1)(1 1)(1 2).png|שמאל|400px]]
* עבור K=0, שורשי המשוואה מתלכדים עם קטבי <math>\bar G(s)</math>.
* השורש שישב ב-s=-2 נע שמאלה ולכן לא משפיע על היציבות.
* שני השורשים האחרים נעים אחד לקראת השני, ובנקודת המפגש ממשיכים לשורשים מרוכבים-צמודים עד שלבסוף חוצים את הציר המדומה והמערכת הופכת ללא-יציבה.

(להשלים)

===דוגמה 3===
[[תמונה:RL-(1 1)-(1 0)(0 1)(1 2)(1 3).png|שמאל|400px|ממוזער|דוגמה 3]]
נניח כי <math>\ \bar G(s)= {K(s+1)\over s(s+2)(s+3)}</math>.
* כאן רואים כי מתחילים בקוטב ומסיימים באפס (הקו הכחול). שאר הענפים הם באינסוף (כי יש רק אפס יחיד ושלושה קטבים).

===דוגמה 4===
[[תמונה:RL&ZARL-(1 -4)-(1 3 7 0).png|שמאל|400px|ממוזער|דוגמה 4]]
נניח כי <math>\ \bar G(s)= {K(s-4)\over s(s^2+3s+7)}</math>.
* יש n-m=3-1=2 ענפים ש"בורחים" לאינסוף, ולכן יש שתי אסימפטוטות.
* שורשי המכנה הם <math>\ 0, -1.5\pm j2.1794</math>.
* אסימפטוטות:
*:<math>\ s_{CG}= {\sum_1^n p - \sum_1^m z\over n-m}= {-3-4\over 2}=-3.5</math>
*:<math>\ \phi_{0,1}= \begin{cases}
{(2k+1)\pi\over 2}= {\pi\over 2},{3\pi\over 2} & K>0 \\
{2k\pi\over 2}=0,\pi & K<0
\end{cases}</math>
* נקודת עזיבה:
*:<math>\ {d\over ds} \left[ {1\over \bar G} \right]= -{s(s^2+3s+7)\over (s-4)^2}+ {s^2+3s+7\over s-4}+ {s(2s+3)\over s-4}=0</math>
*:<math>\ \Rightarrow\ s=6.629</math>
*:שאר השורשים יוצאים מרורכבים ולכן לא יכולים להוות נקודת עזיבה.
* חיתוך עם ציר מדומה: הפעלת קריטריון ראוט על הפולינום <math>\ P_R(s)=s^3+3s^2+(K+7)s-4K</math> נותנת: <math>\ -3<K<0</math>. עבור <math>\ P_R(0)</math> לא מתקבלים שורשים מדומים טהורים, ועבור <math>\ P_R(-3)</math> מתקבלים השורשים <math>\ -3, \pm 2j</math> ולכן החיתוך מתבצע בנקודות <math>\ \pm 2j</math> שעל הציר המדומה. שימו לב כי רק ה-ZARL חותך את הציר המדומה, ואילו ה-RL אינו חותך אותו, כי הפתרון התקבל עבור K=-3.
* זויות יציאה והגעה: נחשב את זוית היציאה/הגעה מהקוטב המרוכב העליון ונסיק לגבי הקוטב התחתון בהתאם לתכונת הסימטריה.
*:<math>\ \sum\psi_i= \arg(-1.5+j2.1794-4)=158.38^o</math>
*:<math>\ \sum\theta_i=(-1.5+j2.1794-(-1.5-j2.1794))+</math>
*:<math>\ +\arg(-1.5+j2.1794-0)=214.54</math>
*:<math>\ \sum\phi_{others}=158.38-214.54=-56.16</math>
*:<math>\ \Rightarrow\ \phi_{departure}=\begin{cases}
180^o-56.16^o=123.84^o & (RL) \\
-56.16 & (ZARL)
\end{cases}</math>

{{הארה|לחישוב זוית ניתן להשתמש בקוד מטלאב הבא:
<source lang="matlab">
p=-1.5+2.1794*i;
angle(p-4)*180/pi;
</source>
}}

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקיפדיה=en:Root locus|שם ויקיפדיה=לוקוס השורשים (אנגלית)|ויקימילון=לוקוס}}
* מדריך מטלאב עבור root-locus - מאתר [http://www.engin.umich.edu/group/ctm/rlocus/rlocus.html MichiganEngineering]
* הסברים ואיורים מאתר [http://www.roymech.co.uk/Related/Control/root_locus.html RoyMech]
* הסברים מעמיקים מאתר [http://www.atp.ruhr-uni-bochum.de/rt1/syscontrol/node46.html ATP]
* הסברים ואנימציות מאתר אוניברסיטת [http://www.atp.ruhr-uni-bochum.de/rt1/syscontrol/node46.html Bucknell]

==הערות==
<references/>

[[קטגוריה:תורת הבקרה|ר]]