הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/למת נקודת השבת

אם $X\ne \varphi$ והפונקצייה $\phi :P(X)\to P(X)$ הינה שומרת הכלה (מונוטונית עולה), כלומר $\mathrm{\forall }A,B\in P(X):A\subseteq B\Rightarrow \phi (A)\subseteq \phi (B)$,
אזי $\mathrm{\exists }Y\in P(X):Y=\phi (Y)$.

כלומר, לכל פונקצייה שומרת הכלה יש נקודת שבת.

הוכחה

נגדיר קבוצה $𝐌=\{A\in P(X)|A\subseteq \phi (A)\}$. מתקיים $\varphi \in 𝐌$ ומכאן $𝐌\ne \varphi$.
נסמן $Y=\bigcup 𝐌=\bigcup _{A\in 𝐌}A$. מובן כי $Y\in P(X)$ לפי ההגדרה.

מהגדרת $Y$, לכל $A\in 𝐌$ מתקיים $A\subseteq Y$ ומכך ש-$\phi$ שומרת הכלה נקבל $\phi (A)\subseteq \phi (Y)$. ומכאן גם מתקבל $\bigcup _{A\in 𝐌}\phi (A)\subseteq \phi (Y)$.
מהגדרת $𝐌$, לכל $A\in 𝐌$ מתקיים $A\subseteq \phi (A)$, ולכן גם $Y=\bigcup _{A\in 𝐌}A\subseteq \bigcup _{A\in 𝐌}\phi (A)$.
משילוב שתי התוצאות הללו נקבל $Y\subseteq \phi (Y)$.

שוב, $\phi$ שומרת הכלה ולכן $\phi (Y)\subseteq \phi (\phi (Y))$, ולכן לפי הגדרת $𝐌$ נקבל כי $\phi (Y)\in 𝐌$.
מכאן נסיק כי $\phi (Y)\subseteq \bigcup 𝐌=Y$.

הראנו הכלה בשני הכיוונים, כלומר $Y=\phi (Y)$, כנדרש.