מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ישר/קטעים מיוחדים במשולש

משוואת התיכון

בהינתן קודקוד שממנו יוצא התיכון ששיעוריו $(x_1,y_1)$ וקודקודי הצלע שאליה התיכון מגיע ששיעוריהם $(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ משוואת התיכון לצלע הזאת היא $y=\frac{y_2+y_3-2y_1}{x_2+x_3-2x_1}x-\frac{y_2+y_3-2y_1}{x_2+x_3-2x_1}{x}_1+y_1$

הוכחה

שיעורי אמצע הקטע הם $(\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2})$ ולכן שיפוע הישר העובר דרך שתי הנקודות הוא $m=\frac{y_2+y_3-2y_1}{x_2+x_3-2x_1}$ ונציב בנוסחה למשוואת הישר בשיפוע ונקודה $y=\frac{y_2+y_3-2y_1}{x_2+x_3-2x_1}x-\frac{y_2+y_3-2y_1}{x_2+x_3-2x_1}{x}_1+y_1$

משוואת הגובה

בהינתן קודקוד שממנו יוצא הגובה ששיעוריו $(x_1,y_1)$ וצלע a מולו ששיעורי קודקודיה $(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ משוואת הגובה h לצלע a היא $y=\frac{x_2-x_3}{y_3-y_2}x-\frac{x_2{x}_1-x_3{x}_1}{y_3-y_2}+y_1$

הוכחה

שיפוע הצלע השלישית הוא $m_a=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}$ ולכן שיפוע הגובה הוא $m_h=\frac{x_2-x_3}{y_3-y_2}$ והוא עובר דרך הקודקוד שממנו הוא יוצא ולכן המשוואה $y=m_h(x-x_1)+y_1=\frac{x_2-x_3}{y_3-y_2}x-\frac{x_2{x}_1-x_3{x}_1}{y_3-y_2}+y_1$

משוואת חוצה הזווית

הוכחה

נסמן $D=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$