מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/הוכחות/משפט התיכון

AD תיכון ל-BC

נתון: $BD=DC$ , צריך להוכיח $2A{D}^2+\frac{B{C}^2}{2}=A{B}^2+A{C}^2$ .

הוכחה:

נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם $\mathrm{\angle }ABC>\frac{\pi }{2}$ אז p<0)

במשולש ABC, נקבל, ע"פ [[../../משפט פיתגורס|משפט פיתגורס]] המורחב: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2p\cdot BC$

נעביר אגפים, ונקבל: $2p\cdot BC=A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2$

במשולש ABD, נקבל, ע"פ [[../../משפט פיתגורס|משפט פיתגורס]] המורחב: $A{D}^2=A{B}^2+B{D}^2-2p\cdot BD$

נציב $BD=\frac{BC}{2}$ , ונקבל: $A{D}^2=A{B}^2+\frac{B{C}^2}{4}-p\cdot BC$

נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל: $2p\cdot BC=2A{B}^2+\frac{B{C}^2}{2}-2A{D}^2$

לכן, נקבל: $A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2=2A{B}^2+\frac{B{C}^2}{2}-2A{D}^2$

לאחר העברת אגפים, נקבל: $2A{D}^2+\frac{B{C}^2}{2}=A{B}^2+A{C}^2$