מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקציה מעריכית

פונקצית מעריכית

תבנית וצורה פרבולה $y=a^x$ פונקציה מונוטומית (פונקציה עולה או יורדת לערכיה) כאשר $a$ חיובי: ככל ש-$a$ קטן יותר וגדול מאחד הפונקציה קעורה יותר. כאשר $a$ גדול מאפס וקטן מאחד הפונקציה יורדת תחום הגדרה ותנאים מקדמים מוגדל לכל $x$ ו-$a>0$. חיתוך עם הצירים חיתוך עם ציר $x$ אינה נחתכת עם הציר מפני שאין איבר בחזקה השווה לאפס. חיתוך עם ציר $y$ תמיד בנקודה $(0,1)$ מאחר ש-$y=a^0=1$. נקודת הקיצון על פי הכלל $f^{\prime }(x)=a^x\cdot \ln (a)$. מאחר שסימן הנגזרת תלוי רק ב-$a$ אך לא ב-$x$, מתקיים שהפונקציה תמיד עולה (אם $a>1$) או שהיא תמיד יורדת (אם $0<a<1$). כלומר אין נקודות קיצון. גם במקרה בו $a=1$, הנגזרת לעולם מתאפסת (הראינו לעיל), לפונקציה אין נקודות קיצון. בנקודות קיצון סטנדרטיות מתקיים $f^{\prime }(x)=0$ וגם $f^{″}(x)\ne 0$, מה שלא מתקיים במקרה שלפנינו. נוסחת הנגזרת תשמש אותנו בפונקציה מעריכית מורכבת נקודות פיתול מציאת נקודות פיתול באמצעות טבלה גזירה שנייה תניב $f^{″}(x)=a^x\cdot (\ln (a){)}^2$, וביטוי זה הוא לעולם חיובי. לכן לפונקציה גם לא קיימות נקודות פיתול. מציאת נקודות פיתול באמצעות נגזרת שנייה אסימפטוטות אסימפטוטה אנכית לציר $x$ אין אסימפטוטה מכיוון שפונקציה מעריכית אינה יכולה להתאפס : $a^x\ne 0$ (וערכי גדולים מאפס). אסימפטוטה אופקית נבדוק עבור $x\to \mathrm{\infty }$ באמצעות הצבה: $y=a^{\mathrm{\infty }}$. על פי הכללים, כאשר $x$ שואף לאינסוף אין אסימפטוטה (בכדי שישר $y=b$ יקרא אסימפטוטה לפונקציה $f(x)$ אם ערך של $f(x)$ שואף לערך ה-$b$ כאשר $x\to \mathrm{\infty }$). נבדוק עבור $x\to -\mathrm{\infty }$ באמצעות הצבה: $y=a^{-\mathrm{\infty }}=\frac{1}{a^{\mathrm{\infty }}}=0$ כלומר קיימת אסימפטוטה רק מצדו האחד של הגרף. תחומי עליה וירידה ניתן לחלק את הפונקציות המעריכיות לשלושה סוגים עיקריים של פונקציות: כאשר $a=1$ הפונקציה המעריכית היא פונקציה קבועה $y=1$. כאשר $a\ne 1$: אם $a>1$ זוהי פונקציה עולה. אם $0<a<1$ זוהי פונקציה יורדת. תחום שלילי וחיובי