מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציות לוגריתמיות

פונקציות לוגריתמיות

נזכיר כאן את פעולת הלוגריתם. לטיפול מקיף יותר בנושא יש לעיין בספר אלגברה.

הגדרת הלוגריתם היא כדלהלן: בהינתן מספר חיובי שונה מ-1 שמסומן $a$ שמכונה בסיס הלוגריתם, מוגדר כי $y={\log }_a(x)$ אם $a^y=x$ . כלומר, הערך ${\log }_a(x)$ הוא החזקה שבה יש להעלות את $a$ כדי לקבל את המספר $x$ .

כלומר פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה $f(x)={\log }_{a}x$.

נגזרת

כדי לגזור את הפונקציות הלוגריתמיות נשתמש בכך שהנגזרת של פונקציה מעריכית היא $\left(a^x\right)=\ln a\cdot a^x$ וכן בכך שמתקיים $a^{{\log }_{a}x}=x$

נגזור את שני האגפים על פי פונקציה מורכבת ונקבל

$a^{{\log }_{a}x}\cdot \ln a\cdot ({\log }_{a}x{)}^{\prime }=1\Rightarrow ({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{a^{{\log }_{a}x}\cdot \ln a}=\frac{1}{x\cdot \ln a}$

תחום הגדרה

יש לשים לב לתחום ההגדרה של הפונקציות הלוגריתמיות. אף מספר חיובי שמועלה בחזקה כלשהי לא נותן מספר אי-חיובי, כלומר תחום ההגדרה הוא $x>0$ ויש אסימפטוטה אנכית $x=0$, כי ככל שx מתקרב ל0 המספר שצריך להעלות בו את a כדי לקבל את x מתקרב למינוס אינסוף.

עלייה וקעירות

על פי הנגזרת שהראינו קודם נקבל שכל הפונקציות הלוגריתמיות בעלות בסיס חיובי עולות וקעורות כלפי מטה (קמורות).

חיתוך

החיתוך של כל הפונקציות הלוגריתמיות הוא בנקודה $(1,0)$ כי כל מספר שמועלה בחזקת 0 נותן 1.

הלוגריתם הטבעי

הלוגריתם שבסיסו e (e = מספר אוילר = 2.71...) נקרא הלוגריתם הטבעי ומסומן $\ln$. הנגזרת של פונקציה זו היא $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ וברוב המחשבונים אין אפשרות לחישוב לוגריתם כללי, אלא רק הלוגריתם הטבעי. תבנית:להשלים