מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/אי-שוויונות מעריכיים

הגדרה

אי-שוויונות מעריכיים הם אי-שוויונות בהם מופיע משתנה במעריך של חזקה. דוגמא לכך היא: $2^x>8$

כאמור, בכדי לפתור תרגילים עם מעריכים הבסיסים $a$ חייבים להיות חיוביים.

אופן הפתרון

נבצע את השלבים הבאים:

1. נייצר משוואה עם בסיסים זהים
2. תחום הגדרה - כאשר הבסיס הוא עם נעלמים יש לבדוק כל מצב. במידה והבסיס הוא מספר נצטרך לבדוק איזה תנאי הוא ממלא מהבאים ולפיו לפתור:
   • בסיס גדול מ-1 - כיוון אי השיוויון נשמר. למה? אם $a>1$ (פונקציה עולה) נוכל לטעון כי ככל שמעריך החזקה יגדל כך החזקה עצמה תגדל. לדוגמא: $2^x$ , ככל ש- $x$ גדל כך החזקה תגדל. כיון שכך, אזי כיוון אי-השוויון יהיה זהה לכיוון אי-השוויון בין החזקות.
3. הבסיס בין אפס לאחד.
   • אם $0<a<1$ כיוון אי השיוויון משתנה. למה? נוכל לטעון כי ככל שמעריך החזקה יגדל כך החזקה עצמה תקטן, מפני שאנו מכפילים בסיס בשבר המקטין את התוצאה.

לדוגמא: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ , ככל ש- $x$ גדל כך נכפול את החצי בעצמו יותר פעמים, מה שיקטין את התוצאה. כיון שכך, אזי כיוון אי-השוויון בין המעריכים יהיה הפוך לכיוון אי-השוויון בין החזקות.

דוגמאות

תבנית:תוכן