הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/שיטות אינטגרציה/המשפט היסודי של החדו"א

משפט

תהי $f(x)$ פונקציה רציפה בקטע $[a,b]$ ותהי $F(x)$ מוגדרת $F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(u)du$ .

אזי $F(x)$ גזירה בקטע $(a,b)$ ומתקיים $F^{\prime }(x)=f(x)$ לכל $x\in (a,b)$ .

הוכחה

נבחר נקודה כללית $x_0\in [a,b]$ . נתון כי $F(x_0)=\underset{a}{\overset{x_0}{\int }}f(u)du$ וכמו כן, $$\begin{array}{cc}F(x_0+h)& =\underset{a}{\overset{x_0+h}{\int }}f(u)du=\underset{a}{\overset{x_0}{\int }}f(u)du+\underset{x_0}{\overset{x_0+h}{\int }}f(u)du\\ F(x_0+h)-F(x_0)& =(\underset{a}{\overset{x_0}{\int }}f(u)du+\underset{x_0}{\overset{x_0+h}{\int }}f(u)du)-\underset{a}{\overset{x_0}{\int }}f(u)du=\underset{x_0}{\overset{x_0+h}{\int }}f(u)du\\ & \underset{h\to 0}{\lim }\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\cdot \underset{x_0}{\overset{x_0+h}{\int }}f(u)du\end{array}$$

לפי משפט ערך הביניים האינטגרלי, לפונקציה $f(x)$ קיימת נקודה $x_h\in (x_0,x_0+h)$ המקיימת $\underset{x_0}{\overset{x_0+h}{\int }}f(u)du=f(x_h)\cdot h$ .

לכן

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\cdot \underset{x_0}{\overset{x_0+h}{\int }}f(u)du=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_h)\cdot h}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }f(x_h)$$

כיון ש־$x_h\in (x_0,x_0+h)$ אז מתקיים לפי כלל הסנדוויץ' $\underset{h\to 0}{\lim }{x}_h=x_0$ , וכיון ש־$f(x)$ רציפה מתקבל: $\underset{h\to 0}{\lim }f(x_h)=\underset{x_h\to x_0}{\lim }f(x_h)=f(x_0)$ .

לכן $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$ . כיון ש־$x_0\in [a,b]$ היא נקודה כללית בקטע אז הטענה נכונה לכל $x\in (a,b)$ .

$◼$