מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/אליפסה/האליפסה היא מעגל מכווץ

האליפסה היא המקום הגאומטרי המתקבל מהמעגל $x^2+y^2=a^2$ על-ידי כיווץ או מתיחה המרחק של כל הנקודות מעגל מהקוטר בערך קבוע כך שבפועל אנו מחליפים את כל נקודה $(x,y)$ שעל המעגל בנקודה $(x,\frac{b}{a}y)$ בתנאי ש- $0<b<a$ .

הוכחה

אם המעגל $x^2+y^2=a^2$ מקיים את התנאי $0<b<a$ , דהיינו הציר הראשי הוא ציר ה- $x$ ועליו הנקודה $(x_1,y_1)$ , נחליף את הנקודה בנקודה אחרת, שערך ה- $y$ קטן מערך הנקודה על המעגל, כלומר $(x_1,\frac{b}{a}{y}_1)$ .

עתה בעזרת הנקודה החדשה נמצא את המקום הגאומטרי המתקבל. מאחר שהקשר בין $(x_1,\frac{b}{a}{y}_1)$ דומה לקשר בין $(x_1,y_1)$ , נוכל להניח כי הנוסחה המקשרת הינה משוואת מעגל. במילים אחרות, נציב את הנקודה במשוואת מעגל חדשה ונקבל $(x_1{)}^2+(y_1{)}^2=a^2$ .

נביע את המשוואה שקיבלו עבור כל ה- $(x,y)$ המקיימות קשר זה (ולא רק עבור הנקודה הספציפית שלנו $(x_1,\frac{b}{a}{y}_1)$). נציב במקום $(x_1,\frac{b}{a}{y}_1)$ את $(x,\frac{b}{a}y)$ עבור כל נקודה. עתה קיבלנו משוואה של אליפסה $x^2+\frac{a}{b}{y}^2=a^2$ .

נחלק את המשוואה ב- $a$ ונקבל משוואת אליפסה $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ שהציר הגדולה שלה שווה לקוטר המעגל.